Definition. Funktionens singularpunkt kallas isolerat, om i någon omgivning av denna punkt finns en analytisk funktion (det vill säga analytisk i ringen).
Klassificeringen av isolerade singulära punkter för en funktion är relaterad till beteendet hos denna funktion i ett grannskap av en singulär punkt.
Definition. Punkten kallas disponibel en singularis för en funktion om det finns en ändlig gräns för denna funktion vid .
Exempel 5 Visa att funktionen har en borttagbar singularitet vid en punkt.
Lösning. Påminner om den första anmärkningsvärda gränsen, vi beräknar
Detta betyder att den givna funktionen har en borttagbar singularitet vid punkten.
Uppgift 4. Visa att spetsen är borttagbar för .
Definition. Punkten kallas Pol funktion , om denna funktion ökar oändligt för , det vill säga .
Låt oss uppmärksamma sambandet mellan begreppen noll och pol för en analytisk funktion. Låt oss representera funktionen som .
Om en punkt är en enkel nolla för en funktion, så har funktionen en enkel pol
Om punkten är ordningen noll för funktionen, så är det för funktionen polen ordning.
Exempel 6 Visa att funktionen har en tredje ordningens pol vid en punkt.
Lösning. Förutsatt att vi får. Eftersom vi tenderar till noll, enligt vilken lag som helst, har vi . Sedan, och med det, ökar själva funktionen i det oändliga. Därför, det vill säga singularpunkten är en pol. För en funktion är denna punkt uppenbarligen en trippel nolla. Därför är punkten för denna funktion en pol av tredje ordningen.
Uppgift 5. Visa att spetsen har en enkel pol.
Definition. Punkten kallas i grunden speciell punkt för funktionen om det vid denna tidpunkt varken finns en ändlig eller oändlig gräns för funktionen (funktionens beteende är inte definierat).
Låt vara en väsentlig singular punkt i funktionen. Sedan för alla förtilldelade komplexa tal finns det en sådan sekvens av punkter som konvergerar till , längs vilken värdena tenderar att: ( Sochockis sats).
Exempel 7 Visa att en funktion vid en punkt har en väsentlig singularitet.
Lösning. Betrakta beteendet hos en given funktion i närheten av punkten. För längs den positiva delen av den reella axeln (dvs ) har vi och ; om längs den negativa delen av den reella axeln (dvs.), då och . Så det finns ingen gräns för . Per definition har en funktion en väsentlig singularitet vid en punkt.
Låt oss betrakta funktionens beteende vid noll ur Sochocki-satsens synvinkel. Låta vara vilket komplext tal som helst förutom noll och oändlighet.
Från jämlikhet finner vi . Om vi antar att vi får en sekvens av punkter, . Självklart, . Vid varje punkt i denna sekvens är funktionen lika med , och därför
Uppgift 6. Visa att funktionen har en väsentlig singularitet vid en punkt.
En punkt i oändligheten anses alltid vara speciell för funktionen. En punkt kallas en isolerad singularpunkt för en funktion om denna funktion inte har några andra singularpunkter utanför någon cirkel centrerad vid origo.
Klassificeringen av isolerade singulära punkter kan också utvidgas till fallet.
Exempel 8 Visa att funktionen har en dubbelpol i oändligheten.
Lösning. Betrakta funktionen , där är en analytisk funktion i närheten av punkten , och . Det betyder att funktionen har en dubbel nolla i oändligheten, men då för funktionen är punkten en dubbelpol.
Exempel 9 Visa att funktionen har en väsentlig singularitet i oändligheten.
Lösning. Ett liknande problem tas upp i pr.7. Betrakta beteendet hos en funktion i närheten av en oändligt avlägsen punkt. För längs den positiva delen av den reella axeln, och för längs den negativa delen av den reella axeln. Detta betyder att det inte finns någon gräns för funktionen vid en punkt och, i kraft av definitionen, är denna punkt i huvudsak singular.
Arten av singulariteten för en funktion vid en punkt kan bedömas utifrån huvudsak Laurent expansion i ett område av denna punkt.
Sats 1. För poängen disponibel singular punkt av funktionen , är det nödvändigt och tillräckligt att motsvarande Laurent expansion innehöll inte huvuddelen.
Uppgift 6. Med hjälp av Taylor-expansionen av funktionen i närheten av punkten, visa att den har en borttagbar singularitet vid noll.
Sats 2. För poängen Pol funktioner , är nödvändigt och tillräckligt så att huvudsak motsvarande Laurent expansion innehöll ett begränsat antal medlemmar :
Numret på den högsta negativa termen bestämmer ordningen på polen.
I detta fall kan funktionen representeras som
där är funktionen analytisk vid punkten, , är ordningen på polen.
Exempel 10 Visa att funktionen har enkla poler vid punkter.
Lösning. Låt oss överväga en punkt. Vi använder Laurent-expansionen av denna funktion i närheten av denna punkt, erhållen i exempel 2:
Eftersom den högsta (och enda) negativa effekten i huvuddelen av denna expansion är lika med en, är punkten en enkel pol för denna funktion.
Detta resultat kunde ha erhållits på annat sätt. Låt oss representera i form och sätta - detta är en funktion som är analytisk vid punkten och . På grund av (8) har denna funktion en enkel pol vid punkten.
Ett annat sätt: betrakta en funktion som har en enkel nolla vid punkten. Därför har den vid denna tidpunkt en enkel stolpe.
På liknande sätt, om vi skriver funktionen i formen , där är en funktion analytisk vid punkten och , då är det omedelbart tydligt att punkten är en enkel pol av funktionen .
Uppgift 7. Visa att funktionen har en pol av 2:a ordningen vid punkten och en pol av 4:e ordningen vid punkten.
Sats 3. För poängen i grunden speciell punkt av funktionen , är det nödvändigt och tillräckligt att huvudsak Laurent expansion i ett grannskap av punkten innehöll ett oändligt antal medlemmar .
Exempel 11. Bestäm arten av singulariteten vid punkten för funktionen
Lösning. I den välkända expansionen av cosinus lägger vi istället för:
Därför har Laurent-expansionen i ett område av en punkt formen
Här är den korrekta delen en term. Och huvuddelen innehåller ett oändligt antal termer, så poängen är i huvudsak singular.
Uppgift 8. Visa att funktionen vid ett tillfälle har en väsentlig singularitet.
Överväg någon funktion och skriv ner dess Laurent-expansion vid punkten:
Låt oss byta ut medan poängen går till punkten . Nu, i ett område av en punkt i oändligheten, har vi
Det återstår att införa en ny beteckning . Vi får
var är huvuddelen, och är den regelbundna delen av Laurents expansion av funktionen i närheten av en oändligt avlägsen punkt. Sålunda, i Laurent-expansionen av en funktion i närheten av en punkt, är huvuddelen en serie i positiva potenser, medan den korrekta delen är en serie i negativa potenser. Med hänsyn till detta
Ovanstående kriterier för att bestämma singularitetens natur förblir emellertid giltiga för en oändligt avlägsen punkt.
Exempel 12. Ta reda på arten av singulariteten för funktionen vid punkten. , då kan det vid ett tillfälle visa sig vara oisolerat.
Exempel 15 Funktionen på en oändligt avlägsen punkt har en väsentlig singularitet. Visa att punkten för funktionen inte är en isolerad singularis.
Lösning. Funktionen har ett oändligt antal poler vid nollorna i nämnaren, det vill säga vid punkterna , . Eftersom , då punkten , i vilket område som helst där det finns poler , är gränspunkten för polerna.
Taylor-serier fungerar som ett effektivt verktyg för att studera funktioner som är analytiska i cirkeln zol För att studera funktioner som är analytiska i ett ringformigt område, visar det sig att det är möjligt att konstruera expansioner i positiva och negativa potenser (z - zq) av form som generaliserar Taylor-expansioner. Serien (1), förstås som summan av två serier, kallas Laurent-serien. Det är tydligt att konvergensområdet för serie (1) är den gemensamma delen av konvergensregionerna för var och en av serierna (2). Låt oss hitta henne. Konvergensområdet för den första serien är en cirkel vars radie bestäms av Cauchy-Hadamard-formeln Inuti konvergenscirkeln konvergerar serien (3) till en analytisk funktion, och i vilken cirkel som helst med mindre radie konvergerar den absolut och enhetligt. Den andra serien är en potensserie med avseende på variabeln. Serien (5) konvergerar inom sin konvergenscirkel till den analytiska funktionen av den komplexa variabeln m-*oo, och i varje cirkel med mindre radie konvergerar den absolut och enhetligt, vilket innebär att konvergensområdet för serien (4) är utseendet på cirkeln - Om det då finns ett gemensamt konvergensområde för serien (3) och (4) - en cirkulär ring i vilken serien (1) konvergerar till en analytisk funktion. Dessutom, i vilken ring som helst, konvergerar den absolut och enhetligt. Exempel 1. Bestäm konvergensområdet för rad Laurent-serien Isolerade singulära punkter och deras klassificering (z), som är enkelvärdig och opolitisk i en cirkulär ring, kan representeras i denna ring som summan av en konvergent serie vars koefficienter Cn bestäms unikt och beräknas av formlerna där 7p är en cirkel med radien m Låt oss fixa en godtycklig punkt z inuti ringen R Vi konstruerar cirklar med centrum i punkten r0 vars radier uppfyller olikheterna och betraktar en ny ring. Enligt Cauchy-integralsatsen för en multiplicerad domän har vi Låt oss transformera var och en av integralerna i summan (8) separat. För alla punkter £ längs cirkeln 7d* är förhållandet de summan av en enhetligt konvergent serie 1 1 uppfyllt. Därför kan bråket ^ representeras i vi- /" / För alla punkter £ på cirkeln ir> relationen är uppfylld Därför kan bråkdelen ^ representeras som summan av en enhetligt konvergent serie i formlerna (10) och (12) är analytiska funktioner i en cirkulär ring. Därför, enligt Cauchys sats, ändras inte värdena för motsvarande integraler om cirklarna 7/r och 7r/ ersätts av någon cirkel. Detta gör att vi kan kombinera formler (10) och (12). Genom att ersätta integralerna på höger sida av formel (8) med deras uttryck (9) respektive (11) får vi den önskade expansionen. Eftersom z är en godtycklig ringens punkt, följer det att serien ( 14) konvergerar till funktionen f(z) överallt i denna ring, och i vilken ring som helst konvergerar serien till denna funktion absolut och enhetligt. Låt oss nu bevisa att nedbrytningen av formen (6) är unik. Antag att ytterligare en sönderdelning äger rum.Då har vi överallt inuti ringen R På omkretsen konvergerar serien (15) likformigt. Multiplicera båda sidor av likheten (där m är ett fast heltal, och integrera båda serierna term för term. Som ett resultat får vi på vänster sida och på höger sida - Csh. Således, (4, \u003d St. Eftersom m är ett godtyckligt tal, kallas den sista likhetsserien (6), vars koefficienter beräknas med formler (7), Laurent-serien för funktionen f(z) i ringen 7) för koefficienterna för Laurent-serier används sällan i praktiken, eftersom de som regel kräver besvärliga beräkningar. Vanligtvis, om möjligt, används färdiga Taylor-expansions av elementära funktioner. Baserat på expansionens unika, leder varje legitim metod till detsamma Resultat Exempel 2 Betrakta Laurent-seriens expansioner av funktionerna för olika domäner, anta att Fuiscija /(z) har två singulära punkter: Därför finns det tre ringdomäner och, centrerad vid punkten r = 0. i var och en av vilka funktionen f(r) är analytisk: a) cirkeln är cirkelns yttre (fig. 27). Låt oss hitta Laurent-expansionerna av funktionen /(z) i var och en av dessa regioner. Vi representerar /(z) som summan av elementära bråk. a) Cirkeltransformationsrelation (16) enligt följande Med hjälp av formeln för summan av termerna för en geometrisk progression får vi b) Ringen för funktionen -z förblir konvergent i denna ring, eftersom Serie (19) för funktionen j^j för |z| > 1 avviker. Därför transformerar vi funktionen /(z) enligt följande: genom att använda formeln (19) igen, får vi det Denna serie konvergerar för. Genom att ersätta expansionerna (18) och (21) i relation (20) får vi c) Cirkelns yttre för funktionen -z med |z| > 2 divergerar och serier (21) för funktionen Låt oss representera funktionen /(z) i följande form: /<*> Med hjälp av formlerna (18) och (19) får vi OR 1. Detta exempel visar att för samma funktion f(z) har Laurentexpansionen generellt sett en annan form för olika ringar. Exempel 3. Hitta nedbrytningen av de 8 Laurent-serien av funktionen Laurent-serien Isolerade singulära punkter och deras klassificering i det ringformiga området A. Vi använder representationen av funktionen f (z) i följande form: och transformera den andra termen Använda formeln för summan av termerna för en geometrisk progression, får vi. Genom att ersätta de hittade uttrycken i formeln (22) har vi exempel 4. Expandera funktionen i en Laurent-serie i närheten av tunn zq = 0. För vilken komplex som helst , vi har Låt Denna expansion är giltig för vilken punkt som helst z Ф 0. I det här fallet är det ringformade området hela det komplexa planet med en punkt z utkastad - 0. Denna region kan definieras av följande samband: Denna funktion är analytisk i regionen Från formler (13) för koefficienterna för Laurent-serien, med samma resonemang som i föregående stycke, kan man få Kouiw-ojämlikheterna. om funktionen f(z) är begränsad till en cirkel, där M är en konstant), så kallas isolerade singularpunkter En punkt zo kallas en isolerad singularpunkt för funktionen f(z) om det finns en ringformig grannskap av punkten ( denna uppsättning kallas ibland också ett genomborrat område av punkten 2o), där funktionen f(z) är envärdig och analytisk. Vid själva punkten zo är funktionen antingen inte definierad eller är inte enkelvärdig och analytisk. Tre typer av singulära punkter särskiljs beroende på beteendet hos funktionen /(z) när man närmar sig punkten zo. En isolerad singularpunkt kallas: 1) borttagbar om det finns en finit 2) pmusach om 3) en väsentligen singularpunkt om funktionen f(z) inte har någon gräns för Sats 16. En isolerad singularpunkt z0 i en funktion f(z) är en borttagbar singularpunkt om och endast om Laurent-expansionen av funktionen f(z) i närheten av punkten zo inte innehåller en huvuddel, dvs. har formen Let zo - borttagbar singular punkt. Då finns det en ändlig, och därför är funktionen f(z) begränsad i en prokologisk grannskap av punkten r. Vi sätter i kraft av Cauchy-olikheterna Eftersom det är möjligt att välja p som godtyckligt liten, så är alla koefficienter negativa potenser (z - 20) är lika med noll: Omvänt, låt Laurent-expansionen av funktionen /(r) i närheten av punkten zq endast innehåller den korrekta delen, dvs. den har formen (23) och därför , är Taylor. Det är lätt att se att för z -* z0 har funktionen /(r) ett gränsvärde: Sats 17. En isolerad singularpunkt zq för funktionen f(z) är borttagbar om och endast om funktionen J(z) är avgränsad i någon punkterad omgivning av punkten zq, Zgmechai inte. Låt r0 vara en borttagbar singularpunkt för f(r). Om vi antar att funktionen f(r) är analytisk i någon cirkel centrerad i punkten th. Detta definierar namnet på punkten - engångs. Sats 18. En isolerad singularpunkt zq i en funktion f(z) är en pol om och endast om huvuddelen av Laurent-expansionen av funktionen f(z) i närheten av punkten innehåller ett ändligt (och positivt) tal av termer som inte är noll, d.v.s. har formen 4 Låt z0 vara en pol. Sedan dess finns det en punkterad omgivning av punkten z0 där funktionen f(z) är analytisk och inte noll. Sedan definieras en analytisk funktion i detta område, och därför är punkten zq en borttagbar singularispunkt (noll) för funktionen eller där h(z) är en analytisk funktion, h(z0) ∩ 0. är analytisk i en grannskap av punkten zq, och varifrån vi får det. Låt oss nu anta att funktionen f(z) har en nedbrytning av formen (24) i en punkterad omgivning av punkten zo. Det betyder att i detta område är funktionen f(z) analytisk tillsammans med funktionen. För funktionen g(z) är expansionen giltig från vilken det är tydligt att zq är en borttagbar singularpunkt för funktionen g(z) och existerar. Sedan tenderar funktionen till 0 - funktionens pol. Det finns ytterligare en enkel faktum. Punkten Zq är en pol för funktionen f(z) om och endast om funktionen g(z) = y kan utökas till en analytisk funktion i närheten av punkten zq genom att sätta g(z0) = 0. Ordningen av polen för funktionen f(z) kallas nollordningen för funktionen jfa. Satserna 16 och 18 innebär följande påstående. Sats 19. En isolerad singular tunn är i huvudsak singular om och endast om huvuddelen av Laurent-expansionen i en punkterad omgivning av denna punkt innehåller oändligt många termer som inte är noll. Exempel 5. Funktionens singularpunkt är zo = 0. Vi har Laurent Series Isolerade singularpunkter och deras klassificering. Därför är zo = 0 en borttagbar singularpunkt. Expansionen av funktionen /(z) i en Laurent-serie i närheten av nollpunkten innehåller endast den korrekta delen: Exempel7. f(z) = Singularpunkten för funktionen f(z) är zq = 0. Betrakta beteendet hos denna funktion på den reella och imaginära axeln: på den reella axeln vid x 0, på den imaginära axeln Därför är varken finita eller oändlig gräns f(z) vid z -* 0 finns inte. Därför är punkten r0 = 0 en väsentligen singular punkt för funktionen f(z). Låt oss hitta Laurent-utvidgningen av funktionen f(z) i närheten av nollpunkten. För alla komplexa C har vi Vi ställer in. Sedan innehåller Laurent-expansionen ett oändligt antal termer med negativa potenser z.
Grundläggande begrepp och definitioner:
Nollan för den analytiska funktionen f(z) är punkten "a" för vilken f(a)=0.
Nollan i ordningen "n" för funktionen f(z) är punkten "a" om men fn(a)¹0.
En singularpunkt "a" kallas en isolerad singularpunkt för funktionen f(z) om det finns ett område till denna punkt där det inte finns några singularpunkter förutom "a".
Isolerade singulära punkter är av tre typer: .
1 avtagbara specialpunkter;
3 väsentliga singulära punkter.
Typen av en singularpunkt kan bestämmas baserat på beteendet hos den givna funktionen vid den funna singularpunkten, såväl som från formen av Laurent-serien som erhålls för funktionen i närheten av den funna singularpunkten.
Bestämma typen av en singular punkt genom beteendet hos funktionen i den.
1. Avtagbara singulära punkter.
En isolerad singularpunkt a av funktionen f(z) kallas för borttagbar om det finns en ändlig gräns .
2. polare.
En isolerad singularpunkt a av funktionen f(z) kallas en pol if 
.
3. Betydande singulära punkter.
En isolerad singularpunkt a av en funktion f(z) kallas en väsentlig singularpunkt om varken finit eller oändlig existerar.
Följande relation äger rum mellan funktionens nollor och poler.
För att en punkt a ska vara en pol av ordningen n för funktionen f(Z), är det nödvändigt och tillräckligt att denna punkt är en noll av ordningen n för funktionen .
Om n=1 kallas polen enkel.
Definition: En isolerad singularpunkt med ett enskilt värde kallas:
a) kan tas bort om huvuddelen av nedbrytningen saknas;
b) en stolpe om huvuddelen innehåller ett begränsat antal medlemmar;
c) en väsentligen singulär punkt om huvuddelen innehåller ett oändligt antal termer.
a) Sålunda, i ett område med en borttagbar singular punkt, har expansionen formen:
den uttrycker funktionen vid alla punkter i cirkeln |z-a| I mitten z=a är likheten falsk, eftersom funktionen vid z=a har en diskontinuitet, och den högra sidan är kontinuerlig. Om värdet på funktionen i mitten ändras och tar det lika med värdet på höger sida, kommer gapet att elimineras - därav namnet - borttagbart. b) I närheten av en pol av ordning m har Laurent-seriens expansion formen: c) I närheten av en enkel stolpe Avdrag och formler för deras beräkning. Resten av en analytisk funktion f(z) i en isolerad singularispunkt z 0 är ett komplext tal lika med värdet på integralen Återstoden av funktionen f(z) i en isolerad singularis punkt z 0 betecknas med symbolen Res f(z 0) eller Res (f(z); z 0). På det här sättet, Resf(z0)= Om vi sätter n=-1 i formeln (22.15.1), får vi: C-1= eller Res f(z 0)= C-1, de där. resten av funktionen f(z) med avseende på singularpunkten z 0 är lika med koefficienten för den första termen med en negativ exponent i expansionen av funktionen f(z) i en Laurent-serie. Beräkning av avdrag. Regelbundna eller borttagbara singulära punkter. Uppenbarligen, om z=z 0 är en regelbunden eller borttagbar singularpunkt för funktionen f(z), då Res f(z 0)=0 (det finns ingen huvuddel i Laurent-nedbrytningen i dessa fall, så c-1= 0). Pol. Låt punkten z 0 vara en enkel pol för funktionen f(z). Då har Laurent-serien för funktionen f(z) i närheten av punkten z 0 formen: Härifrån Därför får vi genom att passera in denna likhet till gränsen som z --z 0 Upplösning f(z0)= I grunden speciell punkt. Om punkten z 0 är en väsentligen singular punkt för funktionen f(z), då för att beräkna resten av funktionen vid denna punkt, bestämmer man vanligtvis direkt koefficienten c-1 i expansionen av funktionen i en Laurent-serie. Händelseklassificering. Summa, produkt av händelser, deras egenskaper, grafisk representation. Händelser är indelade i: 1. Slumpmässigt 2. Trovärdigt 3. Omöjligt Pålitlig - detta är en händelse som nödvändigtvis inträffar under dessa förhållanden (natten följs av morgonen). Slumpmässigt är en händelse som kan eller inte kan inträffa (godkänt ett prov). Det omöjliga är en händelse som inte kommer att inträffa under de givna förhållandena (hämta en grön penna ur lådan med bara röda).
, taget i positiv riktning längs cirkeln L centrerad vid punkten z 0 , som ligger i analyticitetsområdet för funktionen f(z) (dvs. i ringen 0<|z-z0| . (22.15.1)
