Definisi. Titik tunggal dari fungsi tersebut disebut terpencil, jika di beberapa lingkungan titik ini adalah fungsi analitik (yaitu, analitik di atas ring).
Klasifikasi titik singular yang terisolasi dari suatu fungsi terkait dengan perilaku fungsi ini di sekitar titik singular.
Definisi. Titik tersebut disebut sekali pakai titik tunggal fungsi jika ada batas terbatas dari fungsi ini di .
Contoh 5 Tunjukkan bahwa fungsi tersebut memiliki singularitas yang dapat dilepas pada suatu titik.
Larutan. Mengingat batas luar biasa pertama, kami menghitung
Ini berarti bahwa fungsi yang diberikan memiliki singularitas yang dapat dilepas pada titik tersebut.
Tugas 4. Tunjukkan bahwa titik dapat dilepas untuk .
Definisi. Titik tersebut disebut tiang fungsi , jika fungsi ini meningkat tanpa batas untuk , yaitu .
Mari kita perhatikan hubungan antara konsep nol dan kutub dari fungsi analitik. Mari kita nyatakan fungsinya sebagai .
Jika suatu titik adalah nol sederhana dari suatu fungsi, maka fungsi tersebut memiliki kutub sederhana
Jika titiknya adalah orde nol untuk fungsi tersebut, maka untuk fungsi itu adalah kutubnya memesan.
Contoh 6 Tunjukkan bahwa fungsi tersebut memiliki kutub orde ketiga di suatu titik.
Larutan. Dengan asumsi , kita dapatkan . Karena kita cenderung ke nol, menurut hukum apa pun, kita memiliki . Kemudian , dan dengan itu fungsi itu sendiri meningkat tanpa batas. Oleh karena itu, , yaitu, titik singular adalah tiang. Untuk suatu fungsi, titik ini jelas merupakan triple zero. Oleh karena itu, untuk fungsi ini, titiknya adalah kutub orde ketiga.
Tugas 5. Tunjukkan bahwa titik tersebut memiliki kutub sederhana.
Definisi. Titik tersebut disebut pokoknya spesial titik fungsi jika pada titik ini tidak ada batas hingga atau tak hingga dari fungsi (perilaku fungsi tidak didefinisikan).
Membiarkan menjadi titik tunggal penting dari fungsi . Kemudian untuk setiap bilangan kompleks yang ditentukan sebelumnya ada urutan titik yang konvergen ke , di mana nilainya cenderung : ( teorema Sochocki).
Contoh 7 Tunjukkan bahwa suatu fungsi di suatu titik memiliki singularitas esensial.
Larutan. Pertimbangkan perilaku fungsi yang diberikan di sekitar titik . Untuk sepanjang bagian positif dari sumbu nyata (yaitu ) kita memiliki dan ; jika sepanjang bagian negatif dari sumbu nyata (yaitu), maka dan . Jadi tidak ada batasan untuk . Menurut definisi, suatu fungsi memiliki singularitas esensial pada suatu titik.
Mari kita pertimbangkan perilaku fungsi di nol dari sudut pandang teorema Sochocki. Membiarkan menjadi bilangan kompleks apa pun selain nol dan tak terhingga.
Dari persamaan kita menemukan . Dengan asumsi , kita memperoleh urutan poin , . Jelas sekali, . Pada setiap titik dari barisan ini, fungsinya sama dengan , dan oleh karena itu
Tugas 6. Tunjukkan bahwa fungsi tersebut memiliki singularitas esensial di suatu titik.
Sebuah titik di tak terhingga selalu dianggap khusus untuk fungsi. Suatu titik disebut titik singular terisolasi dari suatu fungsi jika fungsi ini tidak memiliki titik singular lain di luar lingkaran yang berpusat di titik asal.
Klasifikasi titik singular yang terisolasi juga dapat diperluas untuk kasus ini.
Contoh 8 Tunjukkan bahwa fungsi tersebut memiliki kutub ganda di tak hingga.
Larutan. Pertimbangkan fungsi , Dimana adalah fungsi analitik di lingkungan titik , dan . Ini berarti bahwa fungsi memiliki nol ganda di tak terhingga, tetapi kemudian untuk fungsi titiknya adalah kutub ganda.
Contoh 9 Tunjukkan bahwa fungsi tersebut memiliki singularitas esensial di tak hingga.
Larutan. Masalah serupa dipertimbangkan dalam pr.7. Pertimbangkan perilaku suatu fungsi di sekitar titik yang jauh tak terhingga. Untuk sepanjang bagian positif dari sumbu nyata, dan untuk sepanjang bagian negatif dari sumbu nyata. Ini berarti bahwa tidak ada limit fungsi pada suatu titik dan, berdasarkan definisi, titik ini pada dasarnya tunggal.
Sifat singularitas suatu fungsi pada suatu titik dapat dinilai dari bagian utama Ekspansi Laurent di lingkungan titik ini.
Teorema 1. Untuk intinya menjadi sekali pakai titik tunggal dari fungsi , perlu dan cukup bahwa ekspansi Laurent yang sesuai tidak mengandung bagian utama.
Tugas 6. Menggunakan perluasan Taylor dari fungsi di sekitar titik , tunjukkan bahwa ia memiliki singularitas yang dapat dilepas di nol.
Teorema 2. Untuk intinya menjadi tiang fungsi , perlu dan cukup sehingga bagian utama ekspansi Laurent yang sesuai berisi jumlah anggota yang terbatas :
Jumlah suku negatif tertinggi menentukan urutan kutub.
Dalam hal ini, fungsinya dapat direpresentasikan sebagai
dimana adalah fungsi analitik pada titik, , adalah orde kutub.
Contoh 10 Tunjukkan bahwa fungsi tersebut memiliki kutub sederhana di titik-titik.
Larutan. Mari kita pertimbangkan satu hal. Kami menggunakan ekspansi Laurent dari fungsi ini di sekitar titik ini, diperoleh pada Contoh 2:
Karena pangkat negatif tertinggi (dan satu-satunya) di bagian utama ekspansi ini sama dengan satu, titik adalah kutub sederhana dari fungsi ini.
Hasil ini dapat diperoleh dengan cara lain. Mari kita nyatakan dalam bentuk dan put - ini adalah fungsi yang analitik pada titik dan . Oleh karena itu, karena (8) fungsi ini memiliki kutub sederhana pada titik tersebut.
Cara lain: pertimbangkan fungsi yang memiliki nol sederhana pada titik tersebut. Oleh karena itu, pada titik ini ia memiliki tiang sederhana.
Demikian pula, jika kita menulis fungsi dalam bentuk , Dimana adalah fungsi analitik pada titik dan , maka segera jelas bahwa titik adalah kutub sederhana dari fungsi .
Tugas 7. Tunjukkan bahwa fungsi tersebut memiliki kutub orde ke-2 pada titik tersebut dan kutub orde ke-4 pada titik tersebut .
Teorema 3. Untuk intinya menjadi pokoknya spesial titik fungsi , perlu dan cukup bahwa bagian utama Ekspansi Laurent di sekitar titik berisi jumlah anggota yang tak terbatas .
Contoh 11. Tentukan sifat singularitas pada titik fungsi
Larutan. Dalam ekspansi kosinus yang terkenal, kami menempatkan alih-alih:
Oleh karena itu, ekspansi Laurent di lingkungan suatu titik memiliki bentuk
Di sini bagian yang benar adalah satu istilah. Dan bagian utama berisi jumlah istilah yang tidak terbatas, jadi intinya pada dasarnya tunggal.
Tugas 8. Tunjukkan bahwa pada suatu titik fungsi memiliki singularitas esensial.
Pertimbangkan beberapa fungsi dan tuliskan ekspansi Laurentnya pada titik :
Mari kita buat pengganti, sementara intinya tetap pada intinya. Sekarang, di lingkungan sebuah titik di tak terhingga, kita memiliki
Tetap memperkenalkan sebutan baru. Kita mendapatkan
di mana adalah bagian utama, dan merupakan bagian reguler dari perluasan fungsi Laurent di sekitar titik yang jauh tak terhingga. Jadi, dalam perluasan Laurent dari suatu fungsi di sekitar suatu titik, bagian utama adalah deret pangkat positif, sedangkan bagian yang benar adalah deret pangkat negatif. Mempertimbangkan ini
Namun, kriteria di atas untuk menentukan sifat singularitas tetap berlaku untuk titik yang jauh tak terhingga.
Contoh 12. Cari tahu sifat singularitas fungsi di titik. , maka pada suatu titik mungkin berubah menjadi tidak terisolasi.
Contoh 15 Fungsi pada titik yang jauh tak terhingga memiliki singularitas esensial. Tunjukkan bahwa titik untuk fungsi tersebut bukanlah titik tunggal yang terisolasi.
Larutan. Fungsi ini memiliki jumlah kutub yang tak terbatas di nol penyebut, yaitu di titik , . Karena , maka titik , di lingkungan mana pun yang ada kutub , adalah titik batas kutub.
Deret Taylor sebagai alat yang efektif untuk mempelajari fungsi-fungsi yang bersifat analitik pada lingkaran zol Untuk mempelajari fungsi-fungsi yang bersifat analitik pada daerah annular, ternyata dimungkinkan untuk mengkonstruksikan pemuaian pada pangkat positif dan negatif (z - zq) dari bentuk yang menggeneralisasikan ekspansi Taylor. Deret (1), yang dipahami sebagai jumlah dari dua deret, disebut deret Laurent. Jelaslah bahwa daerah konvergensi deret (1) adalah bagian persekutuan dari daerah konvergensi masing-masing deret (2). Mari kita temukan dia. Area konvergensi deret pertama adalah lingkaran yang jari-jarinya ditentukan oleh rumus Cauchy-Hadamard Di dalam lingkaran konvergensi, deret (3) konvergen ke fungsi analitik, dan dalam sembarang lingkaran berjari-jari lebih kecil, konvergen mutlak dan seragam. Deret kedua adalah deret pangkat terhadap variabel.Deret (5) konvergen dalam lingkaran konvergensinya ke fungsi analitik dari variabel kompleks m-*oo, dan dalam lingkaran dengan jari-jari yang lebih kecil konvergen secara mutlak dan seragam, yang artinya daerah konvergensi deret (4) adalah kenampakan lingkaran - Jika maka ada daerah konvergensi deret (3) dan (4) - cincin lingkaran yang deret (1) konvergen ke fungsi analitik. Selain itu, di ring mana pun, ia konvergen secara mutlak dan seragam. Contoh 1. Tentukan daerah konvergensi deret rad Laurent Titik singular terisolasi dan klasifikasinya (z), yang bernilai tunggal dan apolitis dalam cincin melingkar, dapat direpresentasikan dalam cincin ini sebagai jumlah dari deret konvergen yang koefisiennya Cn secara unik ditentukan dan dihitung dengan rumus di mana 7p adalah lingkaran dengan jari-jari m Mari kita tentukan titik sembarang z di dalam ring R Kami membangun lingkaran dengan pusat di titik r yang jari-jarinya memenuhi pertidaksamaan dan mempertimbangkan cincin baru Menurut teorema integral Cauchy untuk domain terhubung ganda, kami memiliki Untuk semua titik £ sepanjang lingkaran 7d*, hubungan de jumlah deret konvergen seragam 1 1 terpenuhi. Oleh karena itu, pecahan ^ dapat direpresentasikan dalam vi- /" / Dengan cara yang agak berbeda, untuk semua titik pada lingkaran ir> kita memiliki hubungan Oleh karena itu, pecahan ^ dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari deret konvergen beraturan dalam rumus (10) dan (12) adalah fungsi analitik dalam cincin melingkar. Oleh karena itu, dengan teorema Cauchy, nilai integral yang sesuai tidak berubah jika lingkaran 7/r dan 7r/ diganti dengan lingkaran apa pun. Hal ini memungkinkan kita untuk menggabungkan rumus (10) dan (12).Mengganti integral di sisi kanan rumus (8) dengan ekspresi mereka (9) dan (11), masing-masing, kami memperoleh ekspansi yang diinginkan.Karena z adalah arbitrer titik ring, maka deret (14) konvergen ke fungsi f(z) di mana-mana di ring ini, dan di ring mana pun deret itu konvergen ke fungsi ini secara mutlak dan seragam. Mari kita buktikan bahwa dekomposisi bentuk (6) adalah unik. Asumsikan bahwa terjadi satu dekomposisi lagi, Kemudian, di mana-mana di dalam ring R, kita memiliki Pada keliling, deret (15) konvergen secara seragam. Kalikan kedua sisi persamaan (di mana m adalah bilangan bulat tetap, dan integrasikan kedua seri suku demi suku. Akibatnya, kita dapatkan di sisi kiri, dan di kanan - Csh. Jadi, (4, \u003d St. Sejak m adalah bilangan arbitrer, maka deret persamaan terakhir (6), yang koefisiennya dihitung dengan rumus (7), disebut deret Laurent dari fungsi f(z) pada ring 7) karena koefisien deret Laurent adalah jarang digunakan dalam praktik, karena biasanya memerlukan perhitungan yang rumit. Biasanya, jika memungkinkan, ekspansi Taylor yang sudah jadi dari fungsi dasar digunakan. Berdasarkan keunikan ekspansi, metode apa pun yang sah akan menghasilkan hasil yang sama. Contoh 2 Pertimbangkan perluasan deret Laurent dari fungsi domain yang berbeda, dengan asumsi Fuiscija /(z) memiliki dua titik singular: Oleh karena itu, ada tiga domain ring dan, berpusat pada titik r = 0. di mana masing-masing fungsi f(r) analitik: a) lingkaran adalah bagian luar lingkaran (Gbr. 27). Mari kita cari ekspansi Laurent dari fungsi /(z) di masing-masing daerah ini. Kami menyatakan /(z) sebagai jumlah dari pecahan elementer a) Hubungan Transformasi Lingkaran (16) sebagai berikut Menggunakan rumus untuk jumlah suku deret geometri, kami memperoleh b) Ring untuk fungsi -z tetap konvergen pada ring ini, karena Deret (19) untuk fungsi j^j untuk |z| > 1 menyimpang. Oleh karena itu, kami mengubah fungsi /(z) sebagai berikut: menerapkan rumus (19) lagi, kami memperoleh bahwa deret ini konvergen untuk. Substitusikan ekspansi (18) dan (21) ke dalam relasi (20), kita peroleh c) Eksterioritas lingkaran untuk fungsi -z dengan |z| > 2 divergen, dan deret (21) untuk fungsi tersebut Mari kita nyatakan fungsi /(z) dalam bentuk berikut: /<*> Dengan menggunakan rumus (18) dan (19), kita memperoleh OR 1 Contoh ini menunjukkan bahwa untuk fungsi yang sama f(z) ekspansi Laurent, secara umum, memiliki bentuk yang berbeda untuk cincin yang berbeda. Contoh 3. Temukan dekomposisi 8 deret Laurent dari fungsi Deret Laurent Titik singular yang terisolasi dan klasifikasinya pada daerah annular A Kami menggunakan representasi fungsi f (z) dalam bentuk berikut: dan mentransformasikan suku kedua Menggunakan rumus untuk jumlah suku deret geometri, kita memperoleh Mengganti ekspresi yang ditemukan ke dalam rumus (22), kita memiliki Contoh 4. Perluas fungsi dalam deret Laurent di sekitar zq tipis = 0. Untuk setiap kompleks , kita memiliki Membiarkan Perluasan ini berlaku untuk sembarang titik z 0. Dalam hal ini, daerah annular adalah seluruh bidang kompleks dengan satu titik z - 0 yang dibuang. Daerah ini dapat didefinisikan dengan hubungan berikut: Fungsi ini analitik di daerah Dari rumus (13) untuk koefisien deret Laurent, dengan alasan yang sama seperti pada paragraf sebelumnya, seseorang dapat memperoleh pertidaksamaan Kouiw. jika fungsi f(z) dibatasi pada sebuah lingkaran, di mana M adalah konstanta), maka titik singular terisolasi Sebuah titik zo disebut titik singular terisolasi dari fungsi f(z) jika terdapat lingkungan melingkar dari titik tersebut ( himpunan ini kadang-kadang juga disebut lingkungan tertusuk dari titik 2o), di mana fungsi f(z) bernilai tunggal dan analitik. Pada titik zo itu sendiri, fungsinya tidak terdefinisi atau tidak bernilai tunggal dan analitik. Tiga jenis titik singular dibedakan tergantung pada perilaku fungsi /(z) ketika mendekati titik zo. Suatu titik singular yang terisolasi dikatakan: 1) dapat dipindahkan jika terdapat suatu yang berhingga 2) pmusach jika 3) suatu titik yang pada dasarnya singular jika fungsi f(z) tidak memiliki limit untuk Teorema 16. Titik singular terisolasi z0 dari suatu fungsi f(z) adalah titik singular yang dapat dipindahkan jika dan hanya jika perluasan Laurent dari fungsi f(z) di lingkungan titik zo tidak mengandung bagian utama, yaitu, memiliki bentuk Let zo - titik singular yang dapat dilepas. Maka terdapat fungsi berhingga, oleh karena itu, fungsi f(z) dibatasi dalam lingkungan prokologis dari titik r. Kami menetapkan Berdasarkan pertidaksamaan Cauchy Karena dimungkinkan untuk memilih p sebagai kecil sewenang-wenang, maka semua koefisien di pangkat negatif (z - 20) sama dengan nol: Sebaliknya, biarkan Laurent perluasan fungsi /(r) di lingkungan titik zq hanya berisi bagian yang benar, yaitu memiliki bentuk (23) dan, oleh karena itu, adalah Taylor. Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk z -* z0 fungsi /(r) memiliki nilai limit: Teorema 17. Sebuah titik singular terisolasi zq dari fungsi f(z) dapat dilepas jika dan hanya jika fungsi J(z) adalah dibatasi di beberapa lingkungan tertusuk titik zq, Zgmechai tidak. Biarkan r0 menjadi titik singular f(r) yang dapat dilepas. Dengan asumsi kita mendapatkan bahwa fungsi f(r) analitik dalam beberapa lingkaran yang berpusat pada titik th. Ini mendefinisikan nama titik - sekali pakai. Teorema 18. Titik singular terisolasi zq dari suatu fungsi f(z) adalah sebuah kutub jika dan hanya jika bagian utama dari perluasan Laurent dari fungsi f(z) di lingkungan titik tersebut berisi bilangan berhingga (dan positif) dari istilah bukan nol, yaitu, memiliki bentuk 4 Biarkan z0 menjadi tiang. Sejak saat itu terdapat lingkungan yang tertusuk dari titik z0 di mana fungsi f(z) adalah analitik dan bukan nol. Kemudian fungsi analitik didefinisikan di lingkungan ini dan Oleh karena itu, titik zq adalah titik singular yang dapat dilepas (nol) dari fungsi atau di mana h(z) adalah fungsi analitik, h(z0) 0 analitik di lingkungan titik zq, dan karenanya, dari mana kita memperolehnya Mari kita asumsikan bahwa fungsi f(z) memiliki dekomposisi bentuk (24) di lingkungan titik zo. Ini berarti bahwa dalam lingkungan ini fungsi f(z) analitik bersama dengan fungsi tersebut. Untuk fungsi g(z), pemuaian valid dari mana jelas bahwa zq adalah titik singular yang dapat dipindahkan dari fungsi g(z) dan ada Kemudian fungsi cenderung pada 0 - kutub fungsi Ada satu lagi yang sederhana fakta. Titik Zq adalah kutub dari fungsi f(z) jika dan hanya jika fungsi g(z) = y dapat diperluas ke fungsi analitik di sekitar titik zq dengan menetapkan g(z0) = 0. Orde kutub fungsi f(z) disebut orde nol dari fungsi jfa. Teorema 16 dan 18 menyiratkan pernyataan berikut. Teorema 19. Sebuah singular tipis yang terisolasi pada dasarnya singular jika dan hanya jika bagian utama dari ekspansi Laurent di lingkungan yang tertusuk dari titik ini mengandung banyak suku bukan nol yang tak terhingga. Contoh 5. Titik singular dari fungsi tersebut adalah zo = 0. Kami memiliki Deret Laurent Titik singular terisolasi dan klasifikasinya Oleh karena itu, zo = 0 adalah titik singular yang dapat dilepas. Perluasan fungsi /(z) dalam deret Laurent di sekitar titik nol hanya berisi bagian yang benar: Contoh7. f(z) = Titik singular dari fungsi f(z) adalah zq = 0. Pertimbangkan perilaku fungsi ini pada sumbu nyata dan imajiner: pada sumbu nyata di x 0, pada sumbu imajiner Oleh karena itu, tidak terbatas atau batas tak hingga f(z) pada z -* 0 tidak ada. Oleh karena itu titik r0 = 0 pada dasarnya adalah titik singular dari fungsi f(z). Mari kita cari ekspansi Laurent dari fungsi f(z) di sekitar titik nol. Untuk setiap kompleks C kami telah Kami tetapkan. Kemudian ekspansi Laurent berisi jumlah tak terbatas istilah dengan kekuatan negatif z.
Konsep dan definisi dasar:
Nol dari fungsi analitik f(z) adalah titik “a” dimana f(a)=0.
Orde nol dari fungsi f(z) adalah titik “a” jika tetapi fn(a)¹0.
Titik singular "a" disebut titik singular terisolasi dari fungsi f(z) jika terdapat lingkungan dari titik ini di mana tidak ada titik singular selain "a".
Titik singular terisolasi terdiri dari tiga jenis: .
1 poin khusus yang dapat dilepas;
3 poin penting tunggal.
Jenis titik singular dapat ditentukan berdasarkan perilaku fungsi yang diberikan pada titik singular yang ditemukan, serta dari bentuk deret Laurent yang diperoleh untuk fungsi di sekitar titik singular yang ditemukan.
Menentukan jenis titik tunggal dengan perilaku fungsi di dalamnya.
1. Poin Singular yang Dapat Dilepas.
Titik singular terisolasi a dari fungsi f(z) disebut dapat dipindahkan jika terdapat limit yang berhingga .
2. Polandia.
Sebuah titik singular terisolasi dari fungsi f(z) disebut kutub jika 
.
3. Poin singular yang signifikan.
Titik singular terisolasi a dari suatu fungsi f(z) disebut titik singular esensial jika tidak ada yang berhingga maupun tak terhingga.
Hubungan berikut terjadi antara nol dan kutub fungsi.
Untuk titik a menjadi kutub orde n dari fungsi f(Z), perlu dan cukup bahwa titik ini menjadi nol orde n untuk fungsi .
Jika n=1 kutub disebut sederhana.
Definisi: Titik singular terisolasi dari karakter bernilai tunggal disebut:
a) dilepas jika bagian utama dekomposisi tidak ada;
b) tiang jika bagian utama berisi sejumlah anggota yang terbatas;
c) titik yang pada dasarnya tunggal jika bagian utama mengandung jumlah suku yang tidak terbatas.
a) Jadi, di sekitar titik singular yang dapat dilepas, ekspansi memiliki bentuk:
itu menyatakan fungsi di semua titik lingkaran |z-a| Di pusat z=a, persamaannya salah, karena fungsi di z=a memiliki diskontinuitas, dan ruas kanannya kontinu. Jika nilai fungsi di tengah diubah, dengan mengambilnya sama dengan nilai sisi kanan, maka celah akan dihilangkan - maka namanya - dapat dilepas. b) Di sekitar kutub orde m, ekspansi deret Laurent memiliki bentuk: c) Di sekitar tiang sederhana Pengurangan dan formula untuk perhitungannya. Residu fungsi analitik f(z) pada titik singular terisolasi z 0 adalah bilangan kompleks yang sama dengan nilai integral Residu dari fungsi f(z) pada titik singular terisolasi z 0 dilambangkan dengan simbol Res f(z 0) atau Res (f(z); z 0). Lewat sini, Resf(z0)= Jika kita memasukkan n=-1 ke dalam rumus (22.15.1), maka kita mendapatkan: C-1= atau Res f(z 0)= C -1 , itu. residu fungsi f(z) terhadap titik tunggal z 0 sama dengan koefisien suku pertama dengan eksponen negatif dalam perluasan fungsi f(z) dalam deret Laurent. Perhitungan pemotongan. Poin tunggal reguler atau yang dapat dilepas. Jelas, jika z=z 0 adalah titik singular reguler atau dapat dilepas dari fungsi f(z), maka Res f(z 0)=0 (tidak ada bagian utama dalam dekomposisi Laurent dalam kasus ini, jadi c-1= 0). Tiang. Biarkan titik z 0 menjadi kutub sederhana dari fungsi f(z). Maka deret Laurent untuk fungsi f(z) di sekitar titik z 0 memiliki bentuk: Dari sini Oleh karena itu, meneruskan persamaan ini ke limit sebagai z --z 0 , kita memperoleh Res f(z0)= Intinya khusus. Jika titik z 0 pada dasarnya adalah titik singular dari fungsi f(z), maka untuk menghitung residu fungsi pada titik ini, biasanya langsung menentukan koefisien c-1 dalam perluasan fungsi dalam deret Laurent. Klasifikasi acara. Jumlah, produk dari peristiwa, propertinya, representasi grafis. Acara dibagi menjadi: 1. Acak 2. Kredibel 3. Tidak mungkin Dapat diandalkan - ini adalah peristiwa yang harus terjadi dalam kondisi ini (malam diikuti oleh pagi). Acak adalah suatu peristiwa yang mungkin atau mungkin tidak terjadi (lulus ujian). Yang tidak mungkin adalah peristiwa yang tidak akan terjadi dalam kondisi tertentu (keluarkan pensil hijau dari kotak dengan hanya pensil merah).
, diambil dalam arah positif sepanjang lingkaran L berpusat pada titik z 0 , yang terletak di wilayah analitik fungsi f(z) (yaitu, di ring 0<|z-z0| . (22.15.1)
