Производные величины, как было указано в § 1, можно выразить через основные. Для этого необходимо ввести два понятия: размерность производной величины и определяющее уравнение.
Размерностью физической величины называют выражение, отражающее связь величины с основными величинами
системы, в котором коэффициент пропорциональности принят равным единице.
Определяющим уравнением производной величины называют формулу, посредством которой физическая величина может быть в явном виде выражена через другие величины системы. При этом коэффициент пропорциональности в данной формуле должен быть равным единице. Например, определяющим уравнением скорости является формула
где длина пути, пройденного телом при равномерном движении за время Определяющее уравнение силы в системе второй закон динамики поступательного движения (второй закон Ньютона):
где а - ускорение, сообщаемое силой телу массой
Найдем размерности некоторых производных величин механики в системе Заметим, что начать необходимо с таких величин, которые в явном виде выражаются только через основные величины системы. Такими величинами являются, например, скорость, площадь, объем.
Чтобы найти размерность скорости, подставим в формулу (2.1) вместо длины пути и времени их размерности и Т:
Условимся обозначать размерность величины символом Тогда размерность скорости запишется в виде
Определяющими уравнениями площади и объема являются формулы:
где а - длина стороны квадрата, длина ребра куба. Подставив вместо размерность найдем размерности площади и объема:
Найти же размерность силы по ее определяющему уравнению (2.2) было бы затруднительно, так как нам неизвестна размерность ускорения а. Прежде чем определять размерность силы, надо найти размерность ускорения,
используя формулу ускорения равнопеременного движения:
где изменение скорости тела за время
Подставив сюда уже известные нам размерности скорости и времени, получим
Теперь по формуле (2.2) найдем размерность силы:
Точно так же для получения размерности мощности по ее определяющему уравнению где А - работа, совершенная за время необходимо предварительно найти размерность работы.
Из приведенных примеров следует, что не безразлично, в какой последовательности надо расположить определяющие уравнения при построении данной системы величин, т. е. при установлении размерностей производных величин.
Последовательность расположения производных величин при построении системы должна удовлетворять следующим условиям: 1) первой должна быть величина, которая выражается только через основные величины; 2) каждая последующая должна быть величиной, которая выражается только через основные и такие производные, которые ей предшествуют.
В качестве примера приведем в таблице последовательность величин, которая удовлетворяет таким условиям:
(см. скан)
Последовательность величин, приведенная в таблице, не является единственной, удовлетворяющей указанному выше условию. Отдельные величины в таблице могут быть переставлены. Например, плотность (строка 5) и момент инерции (строка 4) или момент силы (строка 11) и давление (строка 12) можно поменять местами, так как размерности этих величин определяются независимо друг от друга.
Но плотность в этой последовательности нельзя поставить раньше объема (строка 2), так как плотность выражается через объем и для определения ее размерности необходимо знать размерность объема. Момент силы, давление и работа (строка 13) не могут быть поставлены раньше силы, так как для определения их размерности надо знать размерность силы.
Из приведенной таблицы следует, что размерность любой физической величины в системе в общем виде может быть выражена равенством
где целые числа.
В системе величин механики размерность величины выразится в общем виде формулой
Приведем в общем виде формулы размерности соответственно в системах величин: в электростатической и электромагнитной LMT, в и в любой системе с числом основных величин больше трех:
Из формул (2.5) - (2.10) следует, что размерность величины представляет собой произведение размерностей основных величин, возведенных в соответствующие степени.
Показатель степени в которую возведена размерность основной величины, входящая в размерность производной величины, называется показателем размерности физической величины. Как правило, показатели размерности являются целыми числами. Исключение составляют показатели в электростатической и
электромагнитной системах LMT, в которых они могут быть и дробными.
Некоторые показатели размерности могут оказаться равными нулю. Так, записав размерности скорости и момента инерции в системе в виде
находим, что у скорости равен нулю показатель размерности момента инерции - показатель размерности у.
Может оказаться, что все показатели размерности некоторой величины равны нулю. Такая величина называется безразмерной. Безразмерными величинами являются, например, относительная деформация, относительная диэлектрическая проницаемость.
Величина называется размерной, если в ее размерности хотя бы одна из основных величин возведена в степень, не равную нулю.
Конечно, размерности одной и той же величины в различных системах могут оказаться разными. В частности, величина безразмерная в одной системе может оказаться размерной в другой системе. Например, абсолютная диэлектрическая проницаемость в электростатической системе является безразмерной величииой, в электромагнитной системе ее размерность равна а в системе величин
Пример. Определим, как изменится момент инерции системы с увеличением линейных размеров в 2 раза и массы в 3 раза.
Равномерность момента инерции
Пользуясь формулой (2.11), получим
Следовательно, момент инерции увеличится в 12 раз.
2. Пользуясь размерностями физических величин, можно определить, как изменится размер производной единицы с изменением размеров основных единиц, через которые она выражается, а также установить соотношение единиц в разных системах (см. с. 216).
3. Размерности физических величин позволяют обнаружить ошибки при решении физических задач.
Получив в результате решения расчетную формулу, следует проверить, совпадают ли размерности левой и правой частей формулы. Несовпадение этих размерностей свидетельствует о том, что в ходе решения задачи была допущена ошибка. Конечно, совпадение размерностей еще не означает, что задача решена правильно.
Рассмотрение других практических приложений размерностей выходит за рамки настоящего пособия.
Под системой физических величин понимается совокупность физических величин вместе с совокупностью уравнений, связывающих эти величины между собой. В свою очередь, система единиц представляет собой набор основных и производных единиц вместе с их кратными и дольными единицами, определенными в соответствии с установленными правилами для данной системы физических величин .
Все величины, входящие в систему физических величин, делят на основные и производные. Под основными понимают величины, условно выбранные в качестве независимых так, что никакая основная величина не может быть выражена через другие основные. Все остальные величины системы определяются через основные величины и называются производными .
Каждой основной величине сопоставляется символ размерности в виде заглавной буквы латинского или греческого алфавита. В различных системах физических величин используются следующие обозначения размерностей :
Символы размерностей используют также для обозначения систем величин . Так, система величин, основными величинами которой являются длина, масса и время, обозначается как LMT . На её основе были образованы такие системы единиц, как СГС , МКС и МТС . На основе системы LFT , в которой основными величинами являются длина, сила и время, создана система единиц МКГСС .
Как следует из сказанного выше, размерность физической величины зависит от используемой системы величин. Так, например, размерность силы в системе LMT , как указано выше, выражается равенством dim F =LMT -2 , а в системе LFT выполняется dim F =F . Кроме того, безразмерная величина в одной системе величин может стать размерной в другой. Например, в системе LMT электрическая ёмкость имеет размерность L и отношение ёмкости сферического тела к его радиусу - безразмерная величина, тогда как в Международной системе величин (ISQ) это отношение не является безразмерным. Однако многие используемые на практике безразмерные числа (например, критерии подобия , постоянная тонкой структуры в квантовой физике или числа Маха , Рейнольдса , Струхаля и др. в механике сплошных сред) характеризуют относительное влияние тех или иных физических факторов и являются отношением величин с одинаковыми размерностями, поэтому, несмотря на то, что входящие в них величины в разных системах могут иметь разную размерность, сами они всегда будут безразмерными.
Проверка размерности
В формулах, имеющих физический смысл, только величины, имеющие одинаковую размерность, могут складываться, вычитаться или сравниваться. Например, сложение массы какого-либо предмета с длиной другого предмета не имеет смысла. Также невозможно сказать, что больше: 1 килограмм или 3 секунды . Из этого правила, в частности, следует, что левые и правые части уравнений должны иметь одинаковую размерность.
Кроме того, аргументы экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций должны быть безразмерными величинами.
Эти правила используются для проверки правильности физических формул. Если в полученном уравнении какое-то из них нарушается, то ясно, что в вычислениях была допущена ошибка.
Анализ размерности
Анализ размерности - метод, используемый физиками для построения обоснованных гипотез о взаимосвязи различных размерных параметров сложной физической системы. Иногда анализ размерности можно использовать для получения готовых формул (с точностью до безразмерной константы). Суть метода заключается в том, что из параметров, характеризующих систему, составляется выражение, имеющее нужную размерность.
При анализе размерностей формул размерность левой части уравнения должна быть равна размерности правой части уравнения. Отсутствие такого равенства говорит о неверности формулы. Однако наличие такого равенства не даёт стопроцентной гарантии верности формулы.
Размерность физической величины, выражение, показывающее, во сколько раз изменится единица физической величины при изменении единиц величин, принятых в данной системе за основные.
Р. представляет собой одночлен, составленный из произведения обобщённых символов основных единиц в различных (целых или дробных, положительных или отрицательных) степенях, которые называются показателями Р.
Так, например, Р. скорости LT -1 , где Т представляет собой Р. времени, а L - Р. длины. Эти символы обозначают единицы времени и длины независимо от их конкретного размера (секунда, минута, час, метр, сантиметр и т.д.). В ряде случаев Р. позволяет устанавливать связи между соответствующими величинами
Размерность измеряемой величины является качественной ее характеристикой и обозначается символом dim, происходящим от слова dimension.
Размерностьосновных физических величин обозначается соответствующими заглавными буквами. Например, для длины, массы и времени dim l = L; dim m = M; dim t = T.
При определении размерностипроизводных величин руководствуются следующими правилами
1. Размерности левой и правой частей уравнений не могут не совпадать, так как сравниваться между собой могут только одинаковые свойства. Объединяя левые и правые части уравнений, можно прийти к выводу, что алгебраически суммироваться могут только величины, имеющие одинаковые размерности.
2. Алгебра размерностей мультипликативная, т. е. состоит из одного единственного действия - умножения.
2.1. Размерность произведения нескольких величин равна произведению их размерностей. Так, если зависимость между значениями величин Q, А,В, С имеет вид Q = А × В × С, то
dim Q = dim A × dim B × dim C.
2.2. Размерность частного при делении одной величины на другую равна отношению их размерностей, т. е. если Q = А/В, то
dim Q = dim A/dim B.
2.3. Размерность любой величины, возведенной в некоторую степень, равна ее размерности в той же степени. Так, если Q = А n , то
dim Q = dim n А,
Например, если скорость определять по формуле V = l / t, то dim V = dim l/dim t = L/Т = LТ -1 . Если сила по второму закону Ньютона F = m×а, где а = V/ t - ускорение тела, то dim F = dim m × dim а = МL/Т 2 = MТ -2 .
Таким образом, всегда можно выразить размерность производной физической величины через размерности основных физических величин с помощью степенного одночлена:
dim Q = L a M b T g …,
где L, М, Т, . . . - размерности соответствующих основных физических величин; a, b, g, … - показатели размерности. Каждый из показателей размерности может быть положительным или отрицательным, целым или дробным числом, нулем. Если все показатели размерности равны нулю, то такая величина называется безразмерной. Она может быть относительной, определяемой как отношение одноименных величин (например, относительная диэлектрическая проницаемость), и логарифмической, определяемой как логарифм относительной величины (например, логарифм отношения мощностей или напряжений). В гуманитарных науках, искусстве, спорте, квалиметрии, где номенклатура основных величин не определена, теория размерностей не находит пока эффективного применения.
Cтраница 3
И Размерностью физической величины называется выражение, характеризующее связь этой физической величины с основными величинами данной системы единиц. Физическая величина называется безразмерной величиной, если в выражение ее размерности все основные величины входят в нулевой степени. Числовое значение безразмерной величины не зависит от выбора системы единиц.
Под размерностью физической величины следует понимать выражение, отражающее связь рассматриваемой величины с основными величинами системы, если принять коэффициент пропорциональности в этом выражении равным безразмерной единице. Размерность представляет собой произведение размерностей основных величин системы, возведенных с соответствующие степени.
Итак, размерность физической величины указывает, как в данной абсолютной системе единиц изменяются единицы, служащие для измерения этой физической величины, при изменении масштабов основных единиц. Например, сила в системе LMT имеет размерность LMT 2; это значит, что при увеличении единицы длины в п раз единица силы также увеличивается в п раз; при увеличении единицы массы в п раз единица силы также увеличивается в п раз и, наконец, при увеличении единицы времени в п раз единица силы уменьшается в 2 раз.
Соображения, касающиеся размерности физических величин, помогают в решении задач огромной практической важности, например задачи о стационарном обтекании жидкостью или газом препятствия, или, что то же самое, о движении тела в среде.
Для указания размерности физических величин пользуются символическими обозначениями, например LpM. Это означает, что в системе LMT число, выражающее результат измерения данной физической величины, уменьшится в пр раз, если единицу длины увеличить в п раз, увеличится в п 1 раз, если единицу массы увеличить в п раз, и, наконец, увеличится в пг раз, если единицу времени увеличить в п раз.
Результат определения размерности физической величины принято записывать условным равенством, в котором эта величина заключается в квадратные скобки.
Если посмотреть на размерности физических величин, фактически встречающихся в физике, то нетрудно заметить, что во всех случаях числа р, q, r оказываются рациональными. Это не обязательно с, точки зрения теории размерности, а является результатом соответствующих определений физических величин.
Таким образом, размерность физической величины представляет собой функцию, которая определяет, во сколько раз изменится численное значение этой величины при переходе от исходной системы единиц измерения к другой системе внутри данного класса.
Определим теперь понятие размерности физической величины. Размерность показывает, как связана данная величина с основными физическими величинами. В Международной системе единиц СИ основным физическим величинам соответствуют основные единицы измерения: длина, масса, время, сила тока, температура, количество вещества и сила света.
Путем использования анализа размерностей физических величин устанавливают функциональную связь между обобщенными переменными (уравнение подобия), а количественную зависимость получают в результате обработки экспериментальных данных.
Если при определении размерности физической величины составляющие ее основные единицы измерения сокращаются, то такая величина называется безразмерной. Безразмерными величинами являются относительные координаты точек тела, аэродинамические коэффициенты профиля крыла, относительные деформации упругой конструкции. Постоянные и переменные безразмерные величины занимают особое место при изучении подобия физических явлений.
Строго говоря, размерностью физической величины называются показатели степени в символическом уравнении, выражающем эту величину через основные физические величины.
Размерности физических величин в системе СИ
В таблице приведены размерности различных физических величин в Международной системе единиц (СИ) .
В столбцах «Показатели степени» указаны показатели степени в выражении единицы измерения через соответствующие единицы системы СИ. Например, для фарада указано (−2 | −1 | 4 | 2 | |), значит
1 фарад = м −2 ·кг −1 ·с 4 ·A 2 .
| Название и обозначение величины |
Единица измерения |
Обозначение | Формула | Показатели степени | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| русское | международное | м | кг | с | А | К | кд | ||||
| Длина | L | метр | м | m | L | 1 | |||||
| Масса | m | килограмм | кг | kg | m | 1 | |||||
| Время | t | секунда | с | s | t | 1 | |||||
| Сила электрического тока | I | ампер | А | A | I | 1 | |||||
| Термодинамическая температура | T | кельвин | К | K | T | 1 | |||||
| Сила света | I v | кандела | кд | cd | J | 1 | |||||
| Площадь | S | кв. метр | м 2 | m 2 | S | 2 | |||||
| Объём | V | куб. метр | м 3 | m 3 | V | 3 | |||||
| Частота | f | герц | Гц | Hz | f = 1/t | −1 | |||||
| Скорость | v | м/с | m/s | v = dL/dt | 1 | −1 | |||||
| Ускорение | a | м/с 2 | m/s 2 | ε = d 2 L/dt 2 | 1 | −2 | |||||
| Плоский угол | φ | рад | rad | φ | |||||||
| Угловая скорость | ω | рад/с | rad/s | ω = dφ/dt | −1 | ||||||
| Угловое ускорение | ε | рад/с 2 | rad/s 2 | ε = d 2 φ/dt 2 | −2 | ||||||
| Сила | F | ньютон | Н | N | F = ma | 1 | 1 | −2 | |||
| Давление | P | паскаль | Па | Pa | P = F/S | −1 | 1 | −2 | |||
| Работа, знергия | A | джоуль | Дж | J | A = F·L | 2 | 1 | −2 | |||
| Имульс | p | кг·м/с | kg·m/s | p = m·v | 1 | 1 | −1 | ||||
| Мощность | P | ватт | Вт | W | P = A/t | 2 | 1 | −3 | |||
| Электрический заряд | q | кулон | Кл | C | q = I·t | 1 | 1 | ||||
| Электрическое напряжение, электрический потенциал | U | вольт | В | V | U = A/q | 2 | 1 | −3 | −1 | ||
| Напряжённость электрического поля | E | В/м | V/m | E = U/L | 1 | 1 | −3 | −1 | |||
| Электрическое сопротивление | R | ом | Ом | Ω | R = U/I | 2 | 1 | −3 | −2 | ||
| Электрическая ёмкость | C | фарад | Ф | F | C = q/U | −2 | −1 | 4 | 2 | ||
| Магнитная индукция | B | тесла | Тл | T | B = F/I·L | 1 | −2 | −1 | |||
| Напряжённость магнитного поля | H | А/м | A/m | −1 | 1 | ||||||
| Магнитный поток | Ф | вебер | Вб | Wb | Ф = B·S | 2 | 1 | −2 | −1 | ||
| Индуктивность | L | генри | Гн | H | L = U·dt/dI | 2 | 1 | −2 | −2 | ||
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Размер жёсткого диска
- Границы отображения
Смотреть что такое "Размерности физических величин в системе СИ" в других словарях:
ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН - конкретные физ. величины, к рым по определению присвоены числовые значения, равные единице. Многие Е. ф. в. воспроизводятся мерами, применяемыми для измерений (напр., метр, килограмм). Исторически сначала появились Е. ф. в. для измерения длины,… … Физическая энциклопедия
Размерность физической величины - Термин «размерность» имеет и другие значения, см. Размерность (значения). Размерность физической величины выражение, показывающее, во сколько раз изменится единица физической величины при изменении единиц величин, принятых в данной системе… … Википедия
Моделирование - исследование объектов познания на их моделях (См. Модель); построение и изучение моделей реально существующих предметов и явлений (живых и неживых систем, инженерных конструкций, разнообразных процессов физических, химических,… …
Геобаротермометрия - Возможно, эта статья содержит оригинальное исследование. Добавьте ссылки на источники, в противном случае она может быть выставлена на удаление. Дополнительные сведения могут быть на странице обсуждения. (11 мая 2011) … Википедия
Размерность (физич.)
Физическая размерность - Термин «размерность» имеет и другие значения, см. Размерность (значения). В физике размерность физической величины – выражение в форме степенного одночлена, составленного из произведений символов основных физических величин в различных степенях и … Википедия
Размерностей анализ - метод установления связи между физическими величинами, существенными для изучаемого явления, основанный на рассмотрении размерностей (См. Размерность) этих величин. В основе Р. а. лежит требование, согласно которому уравнение,… … Большая советская энциклопедия
Едини́цы физи́ческих величи́н - конкретные физические величины, условно принятые за единицы физических величин. Под физической величиной понимают характеристику физического объекта, общую для множества объектов в качественном отношении (например, длина, масса, мощность) и… … Медицинская энциклопедия
система - 4.48 система (system): Комбинация взаимодействующих элементов, организованных для достижения одной или нескольких поставленных целей. Примечание 1 Система может рассматриваться как продукт или предоставляемые им услуги. Примечание 2 На практике… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
СИСТЕМА ЕДИНИЦ - физических величин, совокупность основных и производных единиц нек рой системы физ. величин, образованная в соответствии с принятыми принципами. С. е. строится на основе физ. теорий, отражающих существующую в природе взаимосвязь физ. величин. При … Физическая энциклопедия
Книги
- Сборник задач и упражнений по физической и коллоидной химии , Гамеева Ольга Стефановна. Сборник содержит 800 задач и упражнений, относящихся к следующим разделам данного курса: газы и жидкости, первый и второй законы термодинамики, термохимия, фазовые равновесия и растворы,…