В настоящем параграфе рассмотрим подробно частный случай системы собственно параллельных сил. Именно, всякое материальное тело или система материальных точек (дискретных частиц), находящихся на Земле, подвержены действию земного притяжения. Поэтому на каждую частицу таких механических систем действует сила ее тяжести. Строго говоря, все эти силы направлены в одну точку к центру Земли. Но так как размеры земных тел весьма малы по сравнению с радиусом Земли (полагаем, что также малы обьемы, в которых заключены дискретные частицы), то с большой степенью точности эти силы можно считать параллельными. Приведению этой системы сил и посвящен параграф.
Удельный вес
Выделим в теле элементарную частицу объемом столь малую, что ее положение можно определить одним радиусом-вектором Пусть вес этой частицы будет Величина
называется удельным весом, а величина
Плотностью тела.
В системе единиц СИ удельный вес имеет размерность
а плотность
В общем случае удельный вес и плотность являются функциями координат точек тела. Если они для всех точек одинаковые, то тело называется однородным.
Равнодействующая всех элементарных сил тяжести равна их сумме и представляет собой вес тела. Центр этих параллельных сил называется центром тяжести тела.
Очевидно, положение центра тяжести в теле не зависит от ориентации тела в пространстве. Это утверждение вытекает из сделанного ранее замечания о том, что центр параллельных сил не изменяет своего положения при повороте всех сил на один и тот же угол вокруг их точек приложения.
Формулы, определяющие центры тяжести тела и системы дискретных частиц
Для определения центра тяжести тела разобьем его на достаточно малые частицы объемом . К каждой из них приложим силу тяжести равную
Равнодействующая этих параллельных сил равна весу тела, который обозначим через
Радиус-вектор центра тяжести тела, который обозначим через , определится по формулам предыдущего параграфа как центр параллельных сил. Таким образом, будем иметь
Если определяется центр тяжести системы дискретных частиц, то будет удельный вес частицы, V, - ее объем - радиус-вектор, определяющий положение частицы. Последняя формула определяет в этом случае центр масс системы дискретных частиц.
Если механическая система представляет собой тело, образованное непрерывной совокупностью частиц, то в пределе суммы последних формул обращаются в интегралы и радиус-вектор центра тяжести тела может быть вычислен по формуле:
где интегралы распространяются по всему объему тела.
Если тело однородно то последняя формула имеет вид:
где V - объем всего тела.
Таким образом, когда тело однородно, определение его центра тяжести сводится к чисто геометрической задаче. В этом случае говорят о центре тяжести объема.
Центр масс тела
Введенное понятие центра тяжести имеет смысл лишь для тел (малых по сравнению с размерами Земли), находящихся вблизи поверхности Земли. Вместе с тем, метод вычисления координат центра тяжести позволяет применить его для вычисления координат точки, характеризующей распределение материи в теле. Для этого следует рассматривать не вес частиц, а их массу. Каждая частица тела объемом имеет массу
а заменяя в ранее полученной формуле на придем к равенству:
которое определяет точку, носящую название центра масс или центра инерции тела.
Если система состоит из материальных точек, массы которых то центр масс системы находится по формуле:
где представляет собой массу всей системы. Радиус-вектор центра масс тела зависит от выбора начала координат О. Если в качестве начала координат выбрать сам центр инерции, то будет равен нулю:
Понятие центра масс может быть введено независимо от понятия центра тяжести. Благодаря этому оно относится к любым механическим системам.
Статические моменты
Выражения называются соответственно статическими моментами веса, объема и массы тела относительно точки О. Если в качестве точки (начало координат) выбрать центр масс тела, то статические моменты тела относительно центра масс окажутся равными нулю, что будет неоднократно использоваться в дальнейшем.
Методы вычисления центра масс
В случае тела сложной формы определение координат центра масс по приведенным общим формулам обычно сопряжено с кропотливыми вычислениями. В ряде случаев их можно значительно упростить, если воспользоваться следующими методами.
1) Метод симметрии. Пусть тело имеет центр материальной симметрии. Это значит, что каждой частице с массой и радиусом-вектором проведенного из этого центра, соответствует частица с такой же массой и радиусом-вектором . В этом случае статический момент массы тела обратится в нуль и
Следовательно, центр масс будет совпадать в этом случае с центром материальной симметрии тела. Для однородных тел это означает, что центр масс совпадает с геометрическим центром объема тела. Если тело имеет плоскость материальной симметрии, то центр масс находится в этой плоскости. Если же тело симметрично относительно оси, то центр масс находится на этой оси.
2) Метод разбиения на части. Если тело можно разбить на конечное число частей, массы и положения центров масс которых известны, то центр масс всего тела найдем следующим образом: представим себе, что массы этих частей сосредоточены в их центрах масс, тогда тело приводится к конечному числу материальных точек. Центр масс системы материальных точек просто вычисляется по приведенным формулам.
3) Метод отрицательных масс. Пусть однородное тело массы имеет отверстий и центр масс его определяется радиусом-вектором Если заполнить эти отверстия тел веществом, из которого состоит тело, то они будут иметь определенные массы и центры масс. Массы этих заполненных отверстий будут равны а радиусы-векторы их центров масс Тогда центр масс тела с заполненными отверстиями будет определяться радиусом-вектором
где М - масса тела с заполненными отверстиями. Отсюда
Но следовательно,
Полученная формула указывает на следующий метод определения центра масс тела с отверстиями. Мысленно заполняют отверстия веществом, из которого состоит тело. Затем находят массу и центр масс полученного таким путем тела, а также массы и центры масс вещества, заполняющего отверстия, и приписывают этим массам знак минус. После этого центр масс рассматриваемого тела можно вычислить посредством метода разбиения.
В инженерной практике случается, что возникает необходимость вычислить координаты центра тяжести сложной плоской фигуры, состоящей из простых элементов, для которых расположение центра тяжести известно. Такая задача является частью задачи определения...
Геометрических характеристик составных поперечных сечений балок и стержней. Часто с подобными вопросами приходится сталкиваться инженерам-конструкторам вырубных штампов при определении координат центра давления, разработчикам схем погрузки различного транспорта при размещении грузов, проектировщикам строительных металлических конструкций при подборе сечений элементов и, конечно, студентам при изучении дисциплин «Теоретическая механика» и «Сопротивление материалов».
Библиотека элементарных фигур.
Для симметричных плоских фигур центр тяжести совпадает с центром симметрии. К симметричной группе элементарных объектов относятся: круг, прямоугольник (в том числе квадрат), параллелограмм (в том числе ромб), правильный многоугольник.
Из десяти фигур, представленных на рисунке выше, только две являются базовыми. То есть, используя треугольники и сектора кругов, можно скомбинировать почти любую фигуру, имеющую практический интерес. Любые произвольные кривые можно, разбив на участки, заменить дугами окружностей.
Оставшиеся восемь фигур являются самыми распространенными, поэтому они и были включены в эту своеобразную библиотеку. В нашей классификации эти элементы не являются базовыми. Прямоугольник, параллелограмм и трапецию можно составить из двух треугольников. Шестиугольник – это сумма из четырех треугольников. Сегмент круга — это разность сектора круга и треугольника. Кольцевой сектор круга — разность двух секторов. Круг – это сектор круга с углом α=2*π=360˚. Полукруг – это, соответственно, сектор круга с углом α=π=180˚.
Расчет в Excel координат центра тяжести составной фигуры.
Передавать и воспринимать информацию, рассматривая пример, всегда легче, чем изучать вопрос на чисто теоретических выкладках. Рассмотрим решение задачи «Как найти центр тяжести?» на примере составной фигуры, изображенной на рисунке, расположенном ниже этого текста.
Составное сечение представляет собой прямоугольник (с размерами a 1 =80 мм, b 1 =40 мм), к которому слева сверху добавили равнобедренный треугольник (с размером основания a 2 =24 мм и высотой h 2 =42 мм) и из которого справа сверху вырезали полукруг (с центром в точке с координатами x 03 =50 мм и y 03 =40 мм, радиусом r 3 =26 мм).
В помощь для выполнения расчета привлечем программу MS Excel или программу OOo Calc . Любая из них легко справится с нашей задачей!
В ячейках с желтой заливкой выполним вспомогательные предварительные расчеты .
В ячейках со светло-желтой заливкой считаем результаты .
Синий шрифт – это исходные данные .
Черный шрифт – это промежуточные результаты расчетов .
Красный шрифт – это окончательные результаты расчетов .
Начинаем решение задачи – начинаем поиск координат центра тяжести сечения.
Исходные данные:
1. Названия элементарных фигур, образующих составное сечение впишем соответственно
в ячейку D3: Прямоугольник
в ячейку E3: Треугольник
в ячейку F3: Полукруг
2. Пользуясь представленной в этой статье «Библиотекой элементарных фигур», определим координаты центров тяжести элементов составного сечения xci и yci в мм относительно произвольно выбранных осей 0x и 0y и запишем
в ячейку D4: =80/2= 40,000
xc 1 = a 1 /2
в ячейку D5: =40/2=20,000
yc 1 = b 1 /2
в ячейку E4: =24/2=12,000
xc 2 = a 2 /2
в ячейку E5: =40+42/3=54,000
yc 2 = b 1 + h 2 /3
в ячейку F4: =50=50,000
xc 3 = x 03
в ячейку F5: =40-4*26/3/ПИ()=28,965
yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π
3. Рассчитаем площади элементов F 1 , F 2 , F 3 в мм2, воспользовавшись вновь формулами из раздела «Библиотека элементарных фигур»
в ячейке D6: =40*80=3200
F 1 = a 1 * b 1
в ячейке E6: =24*42/2=504
F2 = a2 *h2 /2
в ячейке F6: =-ПИ()/2*26^2=-1062
F3 = -π/2*r3 ^2
Площадь третьего элемента – полукруга – отрицательная потому, что это вырез – пустое место!
Расчет координат центра тяжести:
4. Определим общую площадь итоговой фигуры F 0 в мм2
в объединенной ячейке D8E8F8: =D6+E6+F6=2642
F 0 = F 1 + F 2 + F 3
5. Вычислим статические моменты составной фигурыSx и Sy в мм3 относительно выбранных осей 0x и 0y
в объединенной ячейке D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6=60459
Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3
в объединенной ячейке D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6=80955
Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3
6. И в завершение рассчитаем координаты центра тяжести составного сеченияXc и Yc в мм в выбранной системе координат 0x — 0y
в объединенной ячейке D11E11F11: =D10/D8=30,640
Xc = Sy / F 0
в объединенной ячейке D12E12F12: =D9/D8=22,883
Yc =Sx /F0
Задача решена, расчет в Excel выполнен — найдены координаты центра тяжести сечения, составленного при использовании трех простых элементов!
Заключение.
Пример в статье был выбран очень простым для того, чтобы легче было разобраться в методологии расчетов центра тяжести сложного сечения. Метод заключается в том, что любую сложную фигуру следует разбить на простые элементы с известными местами расположения центров тяжести и произвести итоговые вычисления для всего сечения.
Если сечение составлено из прокатных профилей – уголков и швеллеров, то их нет необходимости разбивать на прямоугольники и квадраты с вырезанными круговыми «π/2»- секторами. Координаты центров тяжести этих профилей приведены в таблицах ГОСТов, то есть и уголок и швеллер будут в ваших расчетах составных сечений базовыми элементарными элементами (о двутаврах, трубах, прутках и шестигранниках говорить нет смысла – это центрально симметричные сечения).
Расположение осей координат на положение центра тяжести фигуры, конечно, не влияет! Поэтому выбирайте систему координат, упрощающую вам расчеты. Если, например, я развернул бы в нашем примере систему координат на 45˚ по часовой стрелке, то вычисление координат центров тяжести прямоугольника, треугольника и полукруга превратилось бы в еще один отдельный и громоздкий этап расчетов, который «в уме» не выполнишь.
Представленный ниже расчетный файл Excel в данном случае программой не является. Скорее – это набросок калькулятора, алгоритм, шаблон по которому следует в каждом конкретном случае составлять свою последовательность формул для ячеек с яркой желтой заливкой .
Итак, как найти центр тяжести любого сечения вы теперь знаете! Полный расчет всех геометрических характеристик произвольных сложных составных сечений будет рассмотрен в одной из ближайших статей в рубрике « ». Следите за новостями на блоге.
Для получения информации о выходе новых статей и для скачивания рабочих файлов программ прошу вас подписаться на анонсы в окне, расположенном в конце статьи или в окне вверху страницы.
После ввода адреса своей электронной почты и нажатия на кнопку «Получать анонсы статей» НЕ ЗАБЫВАЙТЕ ПОДТВЕРЖДАТЬ ПОДПИСКУ кликом по ссылке в письме, которое тут же придет к вам на указанную почту (иногда - в папку « Спам» )!
Несколько слов о бокале, монете и двух вилках, которые изображены на «значке-иллюстрации» в самом начале статьи. Многим из вас, безусловно, знаком этот «трюк», вызывающий восхищенные взгляды детей и непосвященных взрослых. Тема этой статьи – центр тяжести. Именно он и точка опоры, играя с нашим сознанием и опытом, попросту дурачат наш разум!
Центр тяжести системы «вилки+монета» всегда располагается на фиксированном расстоянии по вертикали вниз от края монеты, который в свою очередь является точкой опоры. Это положение устойчивого равновесия! Если покачать вилки, то сразу становится очевидным, что система стремится занять свое прежнее устойчивое положение! Представьте маятник – точка закрепления (=точка опоры монеты на кромку бокала), стержень-ось маятника (=в нашем случае ось виртуальная, так как масса двух вилок разведена в разные стороны пространства) и груз внизу оси (=центр тяжести всей системы «вилки+монета»). Если начать отклонять маятник от вертикали в любую сторону (вперед, назад, налево, направо), то он неизбежно под действием силы тяжести будет возвращаться в исходное устойчивое состояние равновесия (это же самое происходит и с нашими вилками и монетой)!
Кто не понял, но хочет понять – разберитесь самостоятельно. Это ведь очень интересно «доходить» самому! Добавлю, что этот же принцип использования устойчивого равновесия реализован и в игрушке ванька–встань-ка. Только центр тяжести у этой игрушки расположен выше точки опоры, но ниже центра полусферы опорной поверхности.
Всегда рад вашим комментариям, уважаемые читатели!!!
Прошу, УВАЖАЯ труд автора, скачивать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.
Существует множество различных конструкций и сооружений, смотря на которые, удивляешься, как они сохраняют равновесие. Самое, пожалуй, известное из них – знаменитая Пизанская башня, построенная ещё в 1360 году и сохраняющая свой непреднамеренный наклон. Почему же Пизанская башня сохраняет равновесие? Секрет прост. Вертикальная проекция центра масс башни находится на её основании. Это справедливо и для любого другого сооружения. Кроме того, если какой-либо предмет подвесить за точку, которая совпадает с центром масс, то подвешенный предмет тоже будет сохранять равновесие. Можно также собирать из различных предметов конструкции самой причудливой формы, которые будут находиться в равновесии, если правильно рассчитать местоположение центра масс. Давайте попробуем разобраться, как рассчитывать координаты центра масс различных плоских фигур.
Предположим, что Вы решили сделать новогоднюю гирлянду, состоящую из различных фигур, в том числе в форме стрелки. Сначала нужно вырезать из плотной бумаги с новогодним рисунком равнобедренный треугольник. Потом нужно сделать вырез тоже в форме равнобедренного треугольника так, чтобы центр масс получившейся фигуры оказался в точке В (см.рисунок). Найдем координаты x c и y c центра масс этой фигуры в прямоугольной системе координат yOx .
Положение центра масс плоских фигур известно: центр масс треугольника находится в точке пересечения его медиан, центр масс прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей, центр масс круга совпадает с его центром. Так как треугольник ACD – равнобедренный, то, исходя из его симметрии относительно прямой ОА , следует, что x c = 0 .
Для расчета координаты y c воспользуемся следующей формулой:
где S ΔACD и S ΔBCD – площади треугольников ACD и BCD , а y c 1 и y c 2 – координаты их центров масс, соответственно. Тогда:
Учитывая, что центр масс должен находиться в точке B , получаем:
|OB | = ½ |OA | . То есть точка B – середина отрезка |OA |.
По предложенному методу мы предлагаем вам решить задачу:
Рассчитайте координаты центра масс круга радиуса R с вырезанным кругом радиуса r (см. рисунок). Определите, каким должен быть отношение радиусов R и r , чтобы центр масс фигуры находился в точке B . Проанализируйте результат.
Термин «центр масс» используется не только в механике и в расчетах движения но и обыденной жизни. Просто люди не всегда задумываются о том, какие же законы природы проявляются в той или иной ситуации. Например, фигуристы в парном катании активно используют центр масс системы, когда раскручиваются, взявшись за руки.
Понятие центра масс также применяется при проектировке кораблей. Необходимо учесть не просто два тела, а огромное их количество и все привести к единому знаменателю. Ошибки в расчетах означают отсутствие устойчивости корабля: в одном случае он будет чрезмерно погружен в воду, рискуя пойти ко дну при самых незначительных волнах; а в другом слишком приподнят над уровнем моря, создавая опасность переворота на бок. Кстати, именно поэтому каждая вещь на борту должна быть на своем месте, предусмотренным расчетами: наиболее массивные в самом низу.
Центр масс используется не только в отношении небесных тел и проектировании механизмов, но и при изучении «поведения» частиц микромира. К примеру, многие из них рождаются парами (электрон-позитрон). Обладая изначальным вращением и подчиняясь законам притяжения/отталкивания, они могут быть рассмотрены как система с общим центром масс.
Урок «Центр масс»
Регламент: 2 урока
Цель: Познакомить учащихся с понятием «центр масс» и его свойствами.
Оборудование: фигуры из картона или фанеры, «неваляшка», перочинный нож, карандаши.
План урока
Этапы урока время методы и приемы
I Введение учащихся 10 фронтальный опрос, работа учащихся у доски.
в проблему урока
II. Изучение нового 15-20 Рассказ учителя, решение задачи,
материала: 10 экспериментальное задание
III Отработка нового 10 сообщения учащихся
материала: 10-15 решение задач,
15 фронтальный опрос
IV.Выводы. Домашнее 5-10 Устное обобщение материала учителем.
задание Запись на доске
Ход урока.
I Повторение 1. Фронтальный опрос: плечо силы, момент силы, условие равновесия, виды равновесия
Эпиграф: Центром тяжести каждого тела является некоторая располо-женная внутри его точка - такая, что если за нее мысленно подвесить тело, то оно остается в покое и сохраняет первона-чальное положение.
II . Объяснение нового материала
Пусть дано тело или система тел. Мысленно разобьем тело на сколь угодно малые части с массами m1, m2, m3… Каждую из этих частей можно рассматривать как материальную точку. Положение в пространстве i-ой материальной точки с массой mi определяется радиус-вектором r i (рис. 1.1). Масса тела есть сумма масс отдельных его частей: т = ∑ mi.
Центром масс тела (системы тел) называет-ся такая точка С, радиус-вектор которой определяется по формуле
r = 1/m∙∑ mi r i
Можно показать, что положение центра масс относительно тела не за-висит от выбора начала координат О, т.е. данное выше определение центра масс однозначно и корректно.
Центр масс однородных симметричных тел рас-положен в их геометрическом центре или на оси симметрии, центр масс у плоского тела в виде произвольного треугольника находится на пересече-нии его медиан.
Решение задачи
ЗАДАЧА 1. На легком стержне (рис. 1.2) закреплены однородные ша-ры массами m1 = 3 кг, m2 = 2 кг, m3 = 6 кг, и m4 = 3 кг. Расстояние между центрами любых ближайших шаров
а = 10 см. Найти положе-ние центра тяжести и центра масс конструкции.
РЕШЕНИЕ. Положение относительно шаров центра тяжести конструкции не зависит от ориентации стержня в пространстве. Для ре-шения задачи удобно располо-жить стержень горизонтально, как показано на рисунке 2. Пусть центр тяжести находится на стержне на расстоянии L от центра левого шара, т.е. от т. А. В центре тяжести приложена равнодействующая всех сил тяжести и ее момент относительно оси А равен сумме моментов сил тяжести шаров. Имеем r = (m1 + m2 + m3 + m4) g ,
R L = m2gα + m 3 g 2 а + m 4 g 3 а.
Отсюда L=α (m1 +2m3 + 3m4)/ (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 см
ОТВЕТ. Центр тяжести совпадает с центром масс и находится, в точке С на расстоянии L=16,4см от центра левого шара.
Оказывается, что у центра масс тела (или системы тел) есть ряд за-мечательных свойств. В динамике показывается, что импульс произвольно движущегося тела равен произведению массы тела на скорость его центра масс и что центр масс движется так, как если бы все внешние силы, действующие на тело, были приложены в центре масс, а масса все-го тела была сосредоточена в нем.
Центром тяжести тела, находящегося в поле тяготения Земли, на-зывают точку приложения равнодействующей всех сил тяжести, дейст-вующих на все части тела. Эта равнодействующая называется силой тя-жести, действующей на тело. Сила тяжести, приложенная в центре тя-жести тела, оказывает на тело такое же воздействие, как и нее силы тя-жести, действующие на отдельные части тела.
Интересен случай, когда размеры тела намного меньше размеров Зем-ли. Тогда можно считать, что на все части тела действуют параллельные силы тяжести, т.е. тело находится в однородном поле тяжести. У парал-лельных и одинаково направленных сил всегда есть равнодействующая, что можно доказать. Но при определенном положении тела в простран-стве можно указать только линию действия равнодействующей всех параллельных сил тяжести, точка ее приложения останется пока неопреде-ленной, т.к. для твердого тела любую силу можно переносить вдоль ли-нии ее действия. Как же быть с точкой приложения?
Можно показать, что при любом положении тела в однородном поле тяжести, линия действия равнодействующей всех сил тяжести, действу-ющих на отдельные части тела, проходят через одну и ту же точку, не-подвижную относительно тела. В этой точке и прикладывается равно-действующая, а сама точка будет центром тяжести тела.
Положение центра тяжести относительно тела зависит только от фор-мы тела и распределения массы в теле и не зависит от положения тела в однородном поле тяжести. Центр тяжести не обязательно находится в са-мом теле. Например, у обруча в однородном поле тяжести центр тяжести лежит в его геометрическом центре.
В однородном поле тяжести центр тяжести те-ла совпадает с его центром масс.
В подавляющем боль-шинстве случаев один термин безбо-лезненно можно заменять другим.
Но: центр масс тела су-ществует независимо от наличия поля тяжести, а о центре тяжести мож-но говорить только при наличии силы тяжести.
Местоположение центра тяжести тела, а значит и центра масс, удобно находить, учитывая симметричность тела и используя понятие момента силы.
Если плечо силы равно нулю, то момент силы равен нулю и такая сила не вызывает вращательного движения тела.
Следовательно, если линия действия силы проходит через центр масс, то оно движется поступательно.
Таким образом, можно определить центр масс любой плоской фигуры. Для этого надо закрепить ее в одной точке, дав ей возможность свободно поворачиваться. Она установится так, чтобы сила тяжести, поворачивающая ее, проходила через центр масс. В точке закрепления фигуры подвесим нить с грузом (гайкой), проведем линию вдоль подвеса (т.е. линию действия силы тяжести). Повторим действия, закрепив фигуру в другой точке. Пересечение линий действия сил тяжести - центр масс тела
Экспериментальное задание: определить центр тяжести плоской фигуры (по приготовленным ранее учащимися фигурам из картона или фанеры).
Инструкция: закрепляем фигурку на штативе. Подвешиваем за один из углов фигуры отвес. Проводим линию действия силы тяжести. Поворачиваем фигуру, повторяем действие. Центр масс лежит в точке пересечения линий действия силы тяжести.
Быстро справившимся с заданием учащимся можно дать дополнительное задание: прикрепить к фигуре груз (металлический болт) и определить новое положение центра масс. Сделать вывод.
Изучение замечательных свойств «центров», которому более двух тыся-челетий, оказалось полезным не толь-ко для механики - например, при конструировании транспортных средств и военной техники, расчете устойчивости сооружений или для вывода уравнений движения реактив-ных аппаратов. Вряд ли Архимед мог даже помыслить о том, что поня-тие центра масс окажется весьма удоб-ным для исследований в ядерной фи-зике или в физике элементарных час-тиц.
Сообщения учащихся:
В своем труде «О равновесии плос-ких тел» Архимед употреблял понятие центра тяжести, фактически не опре-деляя его. Видимо, оно впервые было введено неизвестным предшественни-ком Архимеда или же им самим, но в более ранней, не дошедшей до нас работе.
Должно было пройти долгих сем-надцать столетий, прежде чем наука прибавила к исследованиям Архимеда о центрах тяжести новые результаты. Это произошло, когда Леонардо да Винчи сумел найти центр тяжести тет-раэдра. Он же, размышляя об устойчи-вости итальянских наклонных башен, в том числе - Пизанской, пришел к «теореме об опорном многоугольни-ке».
Выясненные еще Архимедом усло-вия равновесия плавающих тел впос-ледствии пришлось переоткрывать. Занимался этим в конце XVI века: голландский ученый Симон Стевин, применявший, наряду с понятием цен-тра тяжести, и понятие «центр давле-ния» - точку приложения силы давле-ния окружающей тело воды.
Прин-цип Торричелли (а его имя носят и формулы для расчета центра масс), оказывается, был предвосхищен его учителем Галилеем. В свою очередь, этот принцип лег в основу классичес-кого труда Гюйгенса о маятниковых часах, а также был использован в знаменитых гидростатических иссле-дованиях Паскаля.
Метод, позволивший Эйлеру изу-чать движение твердого тела под дей-ствием любых сил, состоял в разложе-нии этого движения на перемещение центра масс тела и вращение вокруг проходящих через него осей.
Для сохранения в неизменном по-ложении предметов при движении их опоры уже несколько столетий приме-няется так называемый карданов под-вес - устройство, в котором центр тяжести тела располагают ниже осей, вокруг которых оно может вращаться. Примером может служить корабельная керосиновая лампа.
Хотя на Луне сила тяжести в шесть раз меньше, чем на Земле, увеличить там рекорд по прыжкам в высоту уда-лось бы «всего» лишь в четыре раза. К такому выводу приводят расчеты по изменению высоты центра тяжести тела спортсмена.
Помимо суточного вращения вок-руг своей оси и годового обращения вокруг Солнца, Земля принимает уча-стие еще в одном круговом движении. Вместе с Луной она «крутится» вокруг общего центра масс, расположенного примерно в 4700 километрах от центра Земли.
Некоторые искусственные спутни-ки Земли снабжены складной штангой в несколько или даже в десятки мет-ров, утяжеленной на конце (так назы-ваемый гравитационный стабилиза-тор). Дело в том, что спутник вытяну-той формы стремится при движении по орбите повернуться вокруг своего центра масс так, чтобы его продольная ось расположилась вертикально. Тог-да он, подобно Луне, будет все время обращен к Земле одной стороной.
Наблюдения за движением неко-торых видимых звезд свидетельству-ют о том, что они входят в двойные системы, в которых происходит вра-щение «небесных партнеров» вокруг общего центра масс. Одним из невиди-мых компаньонов в такой системе мо-жет быть нейтронная звезда или, воз-можно, черная дыра.
Объяснение учителя
Теорема о центре масс: центр масс те-ла может изменить свое положение только под действием внешних сил.
Следствие теоремы о центре масс: центр масс замкнутой системы тел остается неподвижным при любых взаимодействиях тел системы.
Решение задачи (у доски)
ЗАДАЧА 2. Лодка стоит неподвижно в стоячей воде. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние h сдви-нется лодка, если масса человека m= 60кг, масса лодки М = 120кг, длина лодки L=3м? Сопротивлением воды пренебречь.
РЕШЕНИЕ. Воспользуемся условием задачи, что начальная скорость центра масс равна нулю (лодка и человек вначале покоились) и сопротивление воды отсутствует (никакие внешние силы в горизонтальном направлении на систему «человек-лодка» не действуют). Следователь-но, координата центра масс системы в горизонтальном направлении не изменилась. На рис.3 изображено начальное и конечное положение лодки и человека. Начальная координата х0 центра масс х0 = (mL+ML/2)/(m+M)
Конечная координата х центра масс х = (mh+M(h+L/2))/(m+M)
Приравнивая х0 = х, находим h= mL/(m+M) =1м
Дополнительно: сборник задач Степановой Г.Н. №393
Объяснение учителя
Вспоминая условия равновесия, мы выяснили, что
Для тел, имеющих площадь опоры, устойчивое равновесие наблюдается в том случае, когда линия действия силы тяжести проходит через основание.
Следствие: чем больше площадь опоры и ниже центр тяжести, тем устойчивее положение равновесия.
Демонстрация
Поставьте детскую игрушку неваляш-ку (Ваньку - Встаньку) на шерохова-тую доску и приподнимите правый край доски. В какую сторону откло-нится «голова» игрушки при сохране-нии ее равновесия?
Объяснение: Центр тяжести С неваляшки находится ниже геометрического центра О шарообразной поверхности «туловища». В положе-нии равновесия точка С и точка касания А игрушки с на-клонной плоскостью должны находиться на одной вертикали; следовательно «голова» неваляшки отклонится влево
Как объяснить сохранение рав-новесия в случае, показанном на ри-сунке?
Объяснение: Центр тяжести системы карандаш - нож лежит ниже точ-ки опоры
III Закрепление. Фронтальный опрос
Вопросы и задачи
1. При перемещении тела с экватора на полюс действующая на него сила тяжести меняется. Отражается ли это на положении центра тяжести тела?
Ответ: нет, т.к. относительные изменения силы тяжести всех элементов тела одинаковы.
2. Можно ли найти центр тяжести «гантели», состоящей из двух массив-ных шариков, соединенных невесо-мым стержнем, при условии, что дли-на «гантели» сравнима с диаметром Земли?
Ответ: нет. Условие существования центра тяжести - однород-ность поля тяготения. В неоднородном гравитационном поле повороты «гантели» вокруг ее центра масс приводят к тому, что линии действия L1 и L2, равнодействующих сил тяжести, приложенных к шарикам, не имеют общей точки
3. Почему при резком торможении автомобиля его передняя часть опус-кается?
Ответ: при торможении на колеса со стороны дороги действует сила трения, создающая вращающий момент вокруг центра масс автомобиля.
4. Где находится центр тяжести буб-лика?
Ответ: в дырке!
5. В цилиндрический стакан понем-ногу наливают воду. Как будет изме-няться положение центра тяжести си-стемы стакан - вода?
Ответ: Центр тяжести системы сначала будет понижаться, а потом - повышаться.
6. Какой длины конец надо отрезать от однородного стержня, чтобы его центр тяжести сместился на ∆ℓ?
Ответ: длиной 2∆ℓ.
7. Однородный стержень согну-ли посередине под прямым углом. Где оказался теперь его центр тяжес-ти?
Ответ: в точке О — середине отрезка О1О2, соединяющего сере-дины участков АВ и ВС стержня
9. Неподвижная космическая ста-ция представляет собой цилиндр. Космонавт начинает круговой обход ста-ции по ее поверхности. Что произойдет со станцией?
Ответ: с танция придет во вращение в противоположную сторо-ну, причем ее центр будет описывать окружность вокруг об-щего с космонавтом центра масс.
11. Почему трудно передвигаться на ходулях?
Ответ: центр тяжести человека на ходулях значительно повыша-ется, а площадь его опоры на землю уменьшается.
12. Когда канатоходцу легче удер-жать равновесие - при обычном пере-движении по канату или при переносе сильно изогнутого коромысла, нагру-женного ведрами с водой?
Ответ: Во втором случае, так как центр масс канатоходца с вед-рами лежит ниже, т.е. ближе к опоре - канату.
IV Домашнее задание: (выполняется желающими - задачи трудные, решившие их получают "5").
*1. Найдите центр тяжести системы шаров, находящихся в вершинах равностороннего невесомого треугольника, изображенного на рисунке
Ответ: центр тяжести лежит на середине биссектрисы угла, в вершине которого находится шар массой 2m
*2. Глубина лунки в доске, в кото-рую вставлен шар, в два раза меньше радиуса шара. При каком угле накло-на доски к горизонту шар выскочит из лунки?