Определение. Особая точка функции называется изолированной, если в некоторой окрестности этой точки - аналитическая функция (то есть аналитическая в кольце ).
Классификация изолированных особых точек функции связана с поведением этой функции в окрестности особой точки.
Определение. Точка называется устранимой особой точкой функции , если существует конечный предел этой функции при .
Пример 5. Показать, что функция имеет в точке устранимую особенность.
Решение. Вспоминая первый замечательный предел, вычислим
Значит, в точке заданная функция имеет устранимую особенность.
Задача 4. Показать, что точка устранимая для .
Определение. Точка называется полюсом функции , если эта функция неограниченно возрастает при , то есть .
Обратим внимание на связь между понятиями нуля и полюса аналитической функции. Представим функцию в виде .
Если точка является простым нулем функции , то функция имеет в простой полюс
Если точка - нуль порядка для функции , то для функции это полюс порядка .
Пример 6. Показать, что функция имеет в точке полюс третьего порядка.
Решение. Полагая , получим . При стремлении к нулю по любому закону имеем . Тогда , а с ним и сама функция неограниченно возрастает. Следовательно, , то есть особая точка является полюсом. Для функции эта точка, очевидно, является трехкратным нулем. Значит, для данной функции точка является полюсом третьего порядка.
Задача 5. Показать, что в точке имеет простой полюс.
Определение. Точка называется существенно особой точкой функции , если в этой точке не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции (поведение функции не определено).
Пусть является существенно особой точкой функции . Тогда для любого наперед заданного комплексного числа найдется такая последовательность точек , сходящаяся к , вдоль которой значения стремятся к : (теорема Сохоцкого).
Пример 7. Показать, что функция в точке имеет существенную особенность.
Решение. Рассмотрим поведение заданной функции в окрестности точки . При вдоль положительной части действительной оси (т.е. ) имеем и ; если же вдоль отрицательной части действительной оси (т.е. ), то и . Значит, не существует предела при . По определению, в точке функция имеет существенную особенность.
Рассмотрим поведение функции в нуле с точки зрения теоремы Сохоцкого. Пусть - любое комплексное число, отличное от нуля и бесконечности.
Из равенства находим . Полагая , получим последовательность точек , . Очевидно, . В каждой точке этой последовательности функция равна , поэтому и
Задача 6. Показать, что функция имеет в точке существенную особенность.
Бесконечно удаленная точка всегда считается особой для функции . Точка называется изолированной особой точкой функции , если эта функция вне некоторого круга с центром в начале координат не имеет других особых точек.
Классификацию изолированных особых точек можно распространить и на случай .
Пример 8. Показать, что функция имеет на бесконечности двукратный полюс.
Решение. Рассмотрим функцию , где - аналитическая функция в окрестности точки , причем . Значит, функция имеет на бесконечности двукратный нуль, но тогда для функции точка является двукратным полюсом.
Пример 9. Показать, что функция имеет на бесконечности существенную особенность.
Решение. Аналогичная задача рассмотрена в пр.7. Рассмотрим поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки. При вдоль положительной части действительной оси , а при вдоль отрицательной части действительной оси . Значит, не существует предела функции в точке и в силу определения эта точка - существенно особая.
О характере особенности функции в точке можно судить по главной части лорановского разложения в окрестности этой точки.
Теорема 1. Для того чтобы точка была устранимой особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы соответствующее лорановское разложение не содержало главной части.
Задача 6. Пользуясь тейлоровским разложением функции в окрестности точки , показать, что имеет в нуле устранимую особенность.
Теорема 2. Для того чтобы точка была полюсом функции , необходимо и достаточно, чтобы главная часть соответствующего лорановского разложения содержала конечное число членов :
Номер старшего отрицательного члена определяет порядок полюса.
В этом случае функцию можно представить в виде
где - аналитическая в точке функция, , - порядок полюса.
Пример 10. Показать, что функция имеет в точках и простые полюсы.
Решение. Рассмотрим точку . Воспользуемся лорановским разложением данной функции в окрестности этой точки, полученным в примере 2:
Так как в главной части этого разложения старшая (и единственная) отрицательная степень равна единице, то точка - простой полюс данной функции.
Можно было получить этот результат другим путем. Представим в виде и положим - это функция, аналитическая в точке и . Значит, и в силу (8) в точке данная функция имеет простой полюс.
Еще один способ: рассмотрим функцию , которая в точке имеет простой нуль. Значит, в этой точке имеет простой полюс.
Аналогично, если записать функцию в виде , где - функция, аналитическая в точке и , то сразу ясно, что точка - простой полюс функции .
Задача 7. Показать, что функция имеет полюс 2 -го порядка в точке и полюс 4 -го порядка в точке .
Теорема 3. Для того чтобы точка была существенно особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения в окрестности точки содержала бесконечное число членов .
Пример 11. Определить характер особенности в точке функции
Решение. В известном разложении косинуса положим вместо :
Значит, лорановское разложение в окрестности точки имеет вид
Здесь правильная часть - одно слагаемое . А главная часть содержит бесконечное число слагаемых, поэтому точка - существенно особая.
Задача 8. Показать, что в точке функция имеет существенную особенность.
Рассмотрим некоторую функцию и запишем ее лорановское разложение в точке :
Произведем замену , при этом точка переходит в точку . Теперь в окрестности бесконечно удаленной точки имеем
Осталось ввести новое обозначение . Получаем
где - главная часть, а - правильная часть лорановского разложения функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Таким образом, в лорановском разложении функции в окрестности точки главная часть - это ряд по положительным степеням , а правильная часть - ряд по отрицательным степеням. С учетом этого заме
чания приведенные критерии для определения характера особенности остаются в силе и для бесконечно удаленной точки.
Пример 12. Выяснить характер особенности функции в точке . , то в точке может оказаться неизолированной.
Пример 15. Функция в бесконечно удаленной точке имеет существенную особенность. Показать, что точка для функции не является изолированной особой точкой.
Решение. Функция имеет бесчисленное множество полюсов в нулях знаменателя, то есть в точках , . Так как , то точка , в любой окрестности которой имеются полюсы , является предельной для полюсов.
Ряды Тейлора служат эффективным средством для изучения функций, аналитических в круге zol Для исследования функций, аналитических в кольцевой области, оказывается возможным построение разложений по положительным и отрицательным степеням (z - zq) вида обобщающим тейлоровские разложения. Ряд (1), понимаемый как сумма двух рядов называется рядом Лорана. Ясно, что областью сходимости ряда (1) является общая часть областей сходимости каждого из рядов (2). Найдем ее. Областью сходимости первого ряда является круг радиус которого определяется по формуле Коши-Адамара Внутри круга сходимости ряд (3) сходится к аналитической функции, причем в любом круге меньшего радиуса, он сходится абсолютно и равномерно. Второй ряд представляет собой степенной ряд относительно переменного Ряд (5) сходится внутри своего круга сходимости к аналитической функции комплексного переменного m-*oo причем в любом круге меньшего радиуса он сходится абсолютно и равномерно, ^го означает, что областью сходимости ряда (4) является внешность круга - Если то существует общая область сходимости рядов (3) и (4) - круговое кольцо в котором ряд (1) сходится к аналитической функции. При этом в любом кольце, он сходится абсолютно и равномерно. Пример 1. Определить область сходимости рада Ряды Лорана Изолированные особые точки и их классификация М Область сходи мости первого ряда - внешность круга а область с ходи мости второго ряда - внутренность круга Тем самым, данный ряд сходится в колы»о Теорема 15. Любую функцию f(z), однозначную и аполитичную в круговом котьце можно представить в этом кольце в виде суммы сходящегося ряда коэффициенты Сп которого определены однозначно и вычисляются по формулам где 7р - окружность радиуса м Зафиксируем внутри кольца Я произвольную точку z. Построим окружности центрами в точке го, радиусы которых удовлетворяют неравенствам и рассмотрим новое кольцо По интегральной теореме Коши для многосвязной области имеем Преобразуем отдельно каждый из интегралов в сумме (8). Для всех точек £ по окружности 7д* выполняется соотношение де суммы равномерно сходящегося ряда 1 1 Поэтому дробь ^ можно представить в ви- /" / Умножая обе части на непрерывную функцию (О и проводя почленное интегрирование вдоль окружности, получим, что Преобразование второго интеграла проведем несколько по-иному. Для всех точек £ на окружности ir> выполнено соотношение Поэтому дробь ^ можно представить в виде суммы равномерно сходящегося ряда Умножая обе части на непрерывную функцию) и интегрируя почленно вдоль окружности 7/, получи м, что Заметим, что подынтегральные функции в формулах (10) и (12) являются аналитическими функциями в круговом кольце. Поэтому в силу теоремы Коши значения соответствующих интегралов не изменятся, если заменить окружности 7/г и 7г/ любой окружностью. Это позволяет объединить формулы (10) и (12), Заменяя интегралы в правой части формулы (8) их выражениями (9) и (11) соответственно, получим нужное разложение Так как z - произвольная точка кольца, то отсюда следует, что ряд (14) сходится к функции f(z) всюду в этом кольце, причем в любом кольце ряд сходится к этой функции абсолютно и равномерно. Докажем теперь, что разложение вида (6) единственно. Предположим, что имеет место еще одно разложение Тогда всюду внутри кольца R будем иметь На окружности ряды (15) сходятся равномерно. Умножим обе части равенства (где т - фиксированное целое число, и проинтегрируем оба ряда почленно. В результате получим в левой части, а в правой - Сщ. Таким образом, (4, = Ст. Так как m - произвольное число, то последнее равенство доказывает единственность разложения. Ряд (6), коэффициенты которого вычисляются поформулам (7), называется рядом Лорана функции f(z) в кольце Совокупность членов этого ряда с неотрицательными степенями называется правильной частью ряда Лорана, а с отрицательными - его главной частью. Формулы (7) для коэффициентов ряда Лорана на практике применяются редко, ибо, как правило, требуют громоздких вычислений. Обычно, если это возможно, используются готовые тейлоровские разложения элементарных функций. На основании единственности разложения любой законный прием приводит к одному и тому же результату. Пример 2. Рассмотреть разложения в ряд Лорана функции различных областях, приняв Фуисция /(г) имеет две особые точки: . Следовательно, имеется три кольцевых области, с центром в точке го = 0. в каждой из которых функция /(г) является аналитической: а) круг кольцо внешность круга (рис.27). Найдем лорановские разложения функции /(z) в каждой из этих областей. Представим /(z) в виде суммы элементарных дробей а) Круг Преобразуем соотношение (16) следующим обра- Используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, получим Подставим найденные разложения в формулу (17): Это разложение является рядом Тейлора функции /(z). б) Кольцо для функции -г остается сходящимся в этом кольце, так как Ряд (19) для функции j^j при |z| > 1 расходится. Поэтому преобразуем функцию /(z) следующим образом: вновь применяя формулу (19), получим, что Этот ряд сходится для. Подставляя разложения (18) и (21) в соотношение (20), получим в) Внешность круга для функции -г при |z| > 2 расходится, а ряд (21) для функ- Представим функцию /(z) в следующем виде: /<*> Используя формулы (18) и (19), получим ИЛИ 1 Эгот пример показывает, что для одной и той же функции f(z) лорановское разложение, вообще говоря, имеет различный вид для разных колец. Пример 3. Найти разложение 8 ряд Лорана функции Ряды Лорана Изолированные особые точки и их классификация а кольцевой области А Воспользуемся представлением функции f(z) в следующем виде: и преобразуем второе слагаемое Используя формулу для суммы членов геометричесхой прогрессии, получим Подставляя найденные выражения в формулу (22), имеем Пример 4. Разложить в ряд Лорана функцию в окреслюсти тонки zq = 0. Для любою комплексного имеем Положим Это разложение справедливо для любой точки z Ф 0. В данном случае кольцевая область представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой z - 0. Эту область можно определить следующим соотношением: Данная функция является аналитической в области Из формул (13) для коэффициентов ряда Лорана такими же рассуждениями, что и в предыдущем параграфе, можно получить неравенства Kouiw. если функция f(z) ограничена на окружности, где М - постоянная),то Изолированные особые точки Точка zo называется изолированной особой точкой функции / (z), если существует кольцевая окрестность точки (это множество иногда называют также проколотой окрестностью точки 2о), в которой функция f(z) однозначна и аналитична. В самой точке zo функция либо не определена, либо не является однозначной и аналитичной. В зависимости от поведения функции /(г) при приближении к точке zo различаются три типа особых точек. Изолированная особая точка называется: 1) устранимой, если существует конечный 2) пмюсач, если 3) существенно особой точкой, если функция f(z) не имеет предела при Тип изолированной особой точки тесно связан с характером лорановского разложения функции выколотым центром го. Теорема 16. Изолированная особая точка z0 функции f(z) является устранимой особой точкой в том и только в тач случае, когда лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки zo не содержит главной части, т. е. имеет вид Пусть zo - устранимая особая точка. Тогда существует конечный, следо- вательно, функция f(z) ограничена впрокологой окрестности точки го, Положим В силу неравенств Коши Так как р моямо выбрать скольугодно малым, то все коэффициенты при отрицательных степенях (z - 20) равны нулю: Обратно, пусть лорановское разложение функции /(г) в окрестности точки zq содержит только правильную часть, т. е. имеет вид (23) и, следовательно, является тейлоровским. Нетрудно видеть, что при z -* z0 У фуниции /(г) существует предельное значение: Теорема 17. Изолированная особая точка zq функции f(z) является устранимой тогда и только тогда, когда функция J(z) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки zq, Згмечаи не. Пусть го - устранимая особая точка функции /(г). Полагая мы получим, чтофункция /(г) аналитична в некотором к руге с центром в точке го. Это определяет название точки - устранимая. Теорема 18. Изолированная особая точка zq функции f(z) является полюсом в том и только в том случае, когда главная частьлорановскогоразложения функции f(z) в окрестности точки содержит конечное (и положительное) числоотличных от нуля членов, т. е. имеет вид 4 Пусть z0 - полюс. Так как то существует проколотая окрестность точки z0, в которой функция f(z) аналитична и отлична от нуля. Тогда в этой окрестности определена аналитическая функция причем Следовательно, точка zq является устранимой особой точкой (нулем) функции или где h(z) - аналитическая функция, h(z0) Ф 0. Тогда аналитична и h(zo) ф 0, то функция щ аналитична в окрестности точки zq, и следовательно, откуда получаем, что Предположим теперь, что функция f(z) имеет в проколотой окрестности точки zо разложение вида (24). Это означает, что в этой окрестности функция f(z) аналитична вместе с функцией. Для функции g(z) справедливо разложение из которого видно, что zq - устранимая особая точка функции g(z) и существует Тогда функция при 0 стремится - полюс функции Имеет место еще один простой факт. Точка Zq - полюс функции f{z) в том и только в том случае, когда функцию g(z) = ущ можно доопределить до аналитической функции в окрестности точки zq, положив g(z0) = 0. Порядком полюса функции f(z) называется порядок нуля функции jfa. Из теорем 16 и 18 вытекает следующее утверждение. Теорема 19. Изолированная особая тонка является существенно особой в том и только в том случае, когда главная часть лорановского разложения в проколотой окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов. Пример 5. Особой точкой функции является zo = 0. Имеем Ряды Лорана Изолированные особые точки и их классификация Следовательно, zo = О - устранимая особая точка. Разложение функции /(z) в ряд Лорана в окрестности нулевой точки содержит только правильную часть: Пример7. /(г) = Особая точка функции f(z) есть zq = 0. Рассмотрим поведение этой функции на действительной и мнимой осях: на действительной оси при х 0, на мнимой оси Следовательно, ни конечного, ни бесконечного предела f(z) при z -* 0 не существ ует. Значит, точка го = 0 - существенно особая точка функции f(z). Найдем лорановское разложение функции f(z) в окрестности нулевой точки. Для любого комплексного С имеем Положим. Тогда Лорановское разложение содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями z.
Основные понятия и определения:
Нулем аналитической функции f(z) называется точка “a”, для которой f(a)=0.
Нулем порядка “n” функции f(z) называется точка «а», если но fn(a)¹0.
Особая точка «a» называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность этой точки, в которой нет особых точек, кроме «a».
Изолированные особые точки бывают трех типов: .
1 устранимые особые точки;
3 существенно особые точки.
Тип особой точки может быть определен исходя из поведения данной функции в найденной особой точке, а также из вида ряда Лорана, полученного для функции в окрестности найденной особой точки.
Определение типа особой точки по поведению функции в ней.
1.Устранимые особые точки .
Изолированная особая точка a функции f(z) называется устранимой, если существует конечный предел .
2.Полюсы.
Изолированная особая точка a функции f(z) называется полюсом, если 
.
3.Существенно особые точки.
Изолированная особая точка a функции f(z) называется существенно особой точкой, если не существует ни конечный, ни бесконечный .
Между нулями и полюсами функции имеет место следующая связь.
Для того, чтобы точка a была полюсом порядка n функции f(Z), необходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулем порядка n для функции .
Если n=1 полюс называется простым.
Определение: Изолированная особая точка однозначного характера называется:
а) устранимой, если главная часть разложения отсутствует;
б) полюсом, если главная часть содержит конечное число членов;
в) существенно особой точкой, если главная часть содержит бесконечное число членов.
а) Таким образом, в окрестности устранимой особой точки разложение имеет вид:
оно выражает функцию во всех точках круга |z-a| В центре z=a равенство неверно, т.к. функция при z=a имеет разрыв, а правая часть непрерывна. Если в центре значение функции изменить, приняв его равным значению правой части, то разрыв будет устранен- отсюда и название – устранимый. б) В окрестности полюса порядка m разложение в ряд Лорана имеет вид: в) В окрестности простого полюса Вычеты и формулы для их вычисления.
Вычетом аналитической функции f(z) в изолированной особой точке z 0 называется комплексное число, равное значению интеграла Обозначается вычет функции f(z) в изолированной особой точке z 0 символом Res f(z 0) или Res (f(z); z 0). Таким образом, Res f(z 0)= Если в формуле (22.15.1) положить n=-1, то получим: C -1 = или Res f(z 0)= C -1 , т.е. вычет функции f(z) относительно особой точки z 0 равен коэффициенту при первом члене с отрицательным показателем в разложении функции f(z) в ряд Лорана. Вычисление вычетов.
Правильные или устранимые особые точки. Очевидно, если z=z 0 есть правильная или устранимая особая точка функции f(z), то Res f(z 0)=0 (в разложении Лорана в этих случаях отсутствует главная часть, поэтому c-1=0). Полюс. Пусть точка z 0 является простым полюсом функции f(z). Тогда ряд Лорана для функции f(z) в окрестности точки z 0 имеет вид: Отсюда Поэтому, переходя в этом равенстве к пределу при z --z 0 , получаем Res f(z0)= Существенно особая точка. Если точка z 0 - существенно особая точка функции f(z), то для вычисления вычета функции в этой точке обычно непосредственно определяют коэффициент c-1 в разложении функции в ряд Лорана. Классификация событий. Сумма, произведение событий, их свойства, графическое представление.
События делятся на: 1. Случайные 2. Достоверные 3. Невозможные Достоверное – это такое событие, которое наступает обязательно в данных условиях (за ночью следует утро). Случайное – это такое событие, которое может произойти, а может и не произойти (сдача экзамена). Невозможное – это такое событие, которое в данных условиях не наступит (достать зеленый карандаш из коробки только с красными).
, взятого в положительном направлении по окружности L с центром в точке z 0 , лежащей в области аналитичности функции f(z) (т.е. в кольце 0<|z-z0| . (22.15.1)
